IT^P
" Le point A"(j:,x.,X3X^') décrit un réseau applicable sur le réseau A;^x,, X2, a,); donc
» Un réseau T est une fois réseau C et une infinité de fois réseau 2C.
» Dans tous les cas les points ^\{ox^, zy..^, pa,) et M'fpj:-,, zx.,, . . . ^x^ ) décrivent des surfaces applicables quel que soit p. Pour l'étude des propriétés des réseaux M, nous examinerons les deux hypothèses suivantes :
» I. Le réseau T est considéré comme réseau C. p ^= i.
» Il y a deux espèces de réseaux C décrits par les points M :
» 1° Les réseaux N pour lesquels :
- = a, a-, 4- 0,a\, -- UyX^ n- «iX. -'- f'i-^.;. rt' "H fl!; -^ . . . -f- flj = o,
«; -I- f'ffj = O.
» Prenons par exemple p^ r^» Les coordonnées des réseaux
applicables N(X:,, X., X3), TN'(Y,, Y., Y3) sont :
Xj^py.,, Xo^pz^, Xj^pz.,; Y,^zx^, Yo^=pr.,, Y3 = p.r-.
i) Ces réseaux sont C et 2 O. La coordonnée complémentaire (celle qu'il faut ajouter pour obtenir un réseau O dans l'espace à quatre dimensions) est
(^^ 'C = K(Y,-^iY,).
» Si l'on remplace le réseau 0(Y,, Yo, Y,, Z) par un réseau parallèle, la relation (2) subsistera. Or, parmi les réseaux parallèles à un réseau O, il V en a dont la somme des carrés des quatre coordonnées est égale à l'unité. On aura donc
(3) Y; + Y^^Y;;+R=(Y,-^tY3)5 = i.
M I^ surface {3 ) est égale à la surface
I) Le réseau N' est donc parallèle à un réseau C de cette surface.
« Le réseau N coupe le réseau A suivant une droite qui décrit une congruence (6); cette congruence est C et O, elle est normale à un réseau T.
» Inversement, soit N' un réseau C de la surface (4) applicable sur un réseau N. Ces réseaux sont 2O, la coordonnée complémentaire étant
( i558 ) (^ ^ Y^ 4- 1^3- A la solution
0 = i: = Yo + iY,
correspond une congruence harmonique à N. Cette congruence est C puisque 0 = (^; elle est O puisque 0 = Yo + iY.^, donc :
» La déformation de la surface ('\ ') et celle delà sphère sont deux problèmes équivalents.
» 2° Les réseaux P pour lesquels
- = fljd;, + . . . + a-av, «'■[ -t- . . . 4- a'^ := o,
» Prenons par exemple - = a-, — zav , les coordonnées des réseaux ap- P plicables sont P(p3c,, pa^, paj) et P'(pa7o, pa-j, px.).
» Les réseaux P et A se coupent suivant une droite qui décrit une congruence L harmonique à ces réseaux. Cette congruence est C et 30. Le réseau (4) parallèle à celte congruence est C et 30; parmi sescongruences harmoniques se trouve une congruence C, O parallèle au réseau A et une congruence C, 2O parallèle au réseau P.
» Si nous prenons la surface dont l'équation est
(5) Y; + Y^ + Y;; + (Y, + iY,)(Y , -h iY, + mY,) = i,
les réseaux C de cette surface possèdent toutes les propriétés des réseaux L. On en déduit facilement le résultat suivant :
-» Les congruences l^ sont parallèles aux réseaux C des surfaces (j) et par conséquent la déformation de ces surfaces et celle de la sphère sont deux problèmes équivalents. »
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la forme que prend, par la suppression de certains termes, un développement en série entière. Note de M. Riquier, présentée par M. Appell.
« Désignant par x, y, . . . des variables indépendantes en nombre quelconque, et par x„,yg, ..., des valeurs initiales attribuées à ces variables,
considérons un développement, entier en x — a,,, y — Vu dont tous
les coefficients soient arbitraires, et soumis dans leur ensemble à la seule
restriction de la convergence : c'est ce que nous nommerons fuiiclion analytique complètement indéterminée des variables x, y, ....
» Considérant, d'autre part, certaines dérivées (en nombre limité) de cette fonction, désignons par E l'ensemble qu'elles forment, et supprimons du développement tous les termes qui, aux facteurs numériques connus près, ont pour coefficients les valeurs initiales des dérivées figurant dan.s l'ensemble E et de leurs propres dérivées de tous ordres : cette opération portera le nom de coupure, et la portion restante du développement s'appellera le résidu de la coupure.
» Cela posé :
» 1. Le résidu d'une coupure, pratiquée dans le développement d' une fonction analytique complètement indéterminée de ce, y, . . ., peut, par un calcul très simple, être mis sous la forme
oii a^, b^, ... désignent des entiers (^positifs ou nuls), 0„ un groupe de variables extrait du groupe total x,y, . . ., et Ff, une fonction analytique complètement indéterminée des seules variables 9,j ; les termes élémentaires provenant du développement de l'expression (i), quand on y remplace les diverses fonctions indéterminées qui y figurent par leurs développements respectifs, sont tous dissemblables en x — x,,, y — ^ v„, . . ., et l'une des combinaisons
se compose cV entiers tous nuls.
« 11. Désignons par w,j le groupe de variables complémentaires de ^,^, c'est-à-dire tel que l'ensemble des deux groupes G„, tj,j reproduise une fois et une seule chacune des variables indépendantes x, y, .... Si, considérant le développement (sans coupure) de notre fonction analytique indéterminée, on en prend la dérivée d'ordres partiels a„, b,^, ..., et qu'on attribue ensuite aux variables ^li,^ leurs valeurs initiales, ou tombe sur un développement 'IVj , ne dépendant évidemment, comme 1\ , que des variables fi^.
» Cela étant, les deux développements F(, , A'^^ convergent dans les mêmes limites, et la connaissance de l'un équivaut à celle de l'autre, car : i" pour passer de F^,, à <I>fj, , il suffit de multiplier Fq,. par le monôme
(2) (x- — a'„ )"..(/ -Vo )''"...
et d'exécuter sur le résultat la dérivation d'ordres partiels a,„ b„, ...; 2° pour passer de <I>e„ à Fq,,, il suffit d'exécuter sur $0,. 'a quadrature multiple d'ordres partiels a„, b„, . . ., en ayant soin que le résultat de chaque quadrature simple s'annule pour la valeur initiale de la variable qu'elle intéresse, puis de supprimer, dans le développement ainsi obtenu, le facteur commun (2).
» III. Supposons que, dans une question quelconque, on ait à considérer une fonction inconnue u des variables a-, y, et le développement
de cette fonction à partir des valeurs particulières a-„, >'„. ...; supposons, en outre, que, parmi les données de la question, doive figurer le résidu d'une certaine coupure pratiquée dans le développement dont il s'agit. Pour formuler une pareille donnée, on commencera par mettre ce résidu sous la forme (i), en y supposant provisoirement tous les coefficients indéterminés; cela fait :
M Ou bien on se donnera les g fonctions l\^ qui figurent dans l'expression (i);
» Ou bien, faisant successivement n = i, 2, . . . , g, on se donnera la
fonction des variables fi„, à laquelle se réduit , J„j".a„ P''^^' l'attribution
aux variables to„ de leurs valeurs initiales.
» IV. Étant donné un système différentiel, résolu par rapport à certaines dérivées des inconnues u, v, ... qui s'y trouvent engagées, partageons-y les premiers membres en groupes, suivant qu'ils appartiennent à telle ou telle des inconnues, et désignons par E„, E,„ ... les ensembles respectifs ainsi formés; puis, considérant une solution hypothétique du système, et supposant développées, à partir des valeurs initiales cc^, y^' • ■ • des variables, les diverses fonctions dont elle se compose, nommons déterniinations initiales de ces fonctions les résidus des coupures E„, E„, . . . pratiquées dans leurs développements respectifs.
» Cela étant, on peut, par la méthode indiquée ci-dessus, fixer l'économie des fonctions (ou constantes), en nombre fini, dont la connaissance équivaut à celle des déterminations initiales. On résout ainsi, de la manière la plus simple, un problème qui se présente sans cesse dans l'étude des systèmes différentiels et que je n'avais pu traiter jusqu'ici dans toute sa généralité qu'à l'aide d'une réduction progressive au premier ordre. »
PHYSIQUE. — Sur une méthode de détermination du numéro d'ordre d'une frange d'ordre élevé. Note de MM. Ch. Fabry et A. Perot, présentée par M. A. Cornu.
« Nous avons déjà utilisé les franges produites entre deux surfaces de verre argenté, planes et parallèles, éclairées par un faisceau de lumière monochromatique, à Tétude de la constitution de plusieurs raies spectrales ('). Ces franges, observées par transmission à l'aide d'une lunette visant à l'infini, ont l'aspect de cercles concentriques dont les diamètres suivent la même loi que ceux des anneaux de Newton; la partie brillante de chaque anneau est très étroite comme cela a lieu pour toutes les franges des lames argentées.
» A un point du champ correspond une incidence déterminée i et, pour ce point, la différence de marche qui produit l'interférence est 1 = ie cosi (e étant la distance des deux plans argentés). La partie fractionnaire du
quotient p = y = " — =r — est la différence de phase pour la radiation 1, et
la valeur de p n'est autre que la différence de marche exprimée en longueurs d'onde X; chaque valeur entière de cette quantité caractérise une frange brillante dont elle est le numéro d'ordre.
» Lorsque la distance des surfaces argentées est un peu grande, le numéro d'ordre des anneaux observés devient très élevé (p = 160000 pour e = Y'" et >. = 01^,5); la méthode que nous employons pour déterminer ce nombre, analogue à la méthode des excédants fractionnaires (*), repose sur l'emploi de plusieurs radiations monochromatiques convenablement choisies, dont les longueurs d'onde sont dans des rapports exactement connus. Imaginons que l'appareil soit éclairé par deux radiations simples, l'une rouge et l'autre verte, par exemple, de longueurs d'onde 1 et a' (i >>,'). Les anneaux dus à ces radiations se juxtaposent, sans se fondre, à cause de la présence des franges brillantes, et l'on distinguera à leurs teintes les anneaux des deux systèmes. Si l'on fait varier la distance des lames argentées, ces deux svstèmes se contractent ou se dilatent simultanément, sans qu'il y ait mouvement d'un système relativement à l'autre. Un anneau rouge, d'ordre déterminé k, par exemple, sera toujours accom-
(') Comptes rendus, t. CXWI, p. 34, 33 1, 407; 1898. {-) MM. Macé de Lépinat, Michelson, Besoit, Hamv.
pagne de la même manière par les mêmes anneaux rouges et verts qui l'environnent. I^a façon dont se présentent ces anneaux sera caractéristique de l'anneau ronge considéré et pourra servir à la faire reconnaître.
» En particulier, il peut arriver que, entre deux anneaux rouges successifs d'ordre R et R + i, se trouvent intercalés, non plus un, mais deux anneaux verts; nous disons alors qu'il y a une coïncidence entre les deux svstèmes, ce que l'on constatera aisément à la vue, parce que, les deux anneaux verts étant très voisins des anneaux rouges, on aura deux anneaux successifs blanchâtres, dégradés de vert, l'un à l'intérieur, l'autre à l'extérieur. Ce phénomène tient à ce que la variation de différence de marche en passant d'un anneau au suivant est plus petite pour le système vert que pour le rouge, ce qu'on pourra exprimer en disant que les anneaux verts sont plus serrés que les rouges.
» Soient R' et R'-t- i les numéros d'ordre des anneaux verts compris entre les anneaux rouges R et R + i , et soit R' = R + m.
» Les différences de marche exprimées en longueur d'onde rouge sont, pour les deux anneaux rouges,
en ces mêmes points, exprimés en longueur d'onde verte, ,, et r^» elles
seront, l'une un peu inférieure à R', l'autre un peu supérieure à R ' + i, puisque c'est sur les anneaux verts qu'elles ont ces valeurs. Ceci revient à dire que, pour le R""™' anneau rouge, on a
et pour le (R -4- i)'^™*,
il y a donc ini point intermédiaire, où la différence de marche est A,,, où l'on a exactement
A„ est la différence de marche de coïncidence; sa valeur est
» Il suit de là que le phénomène est périodique, se produisant pour
toutes les valeurs entières de m, auxquelles correspondent comme différences de marche les multiples d'une longueur que nous appelons la période
Cette période pourra être exprimée en longueurs d'onde d'une radiation quelconque : en particulier exprimée en \ ce sera
et ses multiples mu seront des différences de marche de coïncidence en >., dont les parties fractionnaires seront les différences de phase correspondantes. Si mrr, est en particulier un entier, il y a superposition exacte d'un anneau vert à un anneau rouge; nous dirons qu'il y a coïncidence exacte. Dans le cas général la valeur tlii terme fractionnaire de mrr renseignera sur Vexactitude de la coïncidence, sur laquelle l'observation directe dans le cas de courte période pourra donner un renseignement.
» Lorsque, les deux radiations étant voisines, la période est longue, l'observation ne permet de fixer la position de la coïncidence qu'à quelques franges près; les anneaux des deux espèces ont presque exactement la même teinte, et leur séparation, qui ne produit pas de dissvmétrie dans les colorations, ne devient appréciable que quelques franges après ou avant la coïncidence. Il peut y avoir avantage dans ce cas à absorber les discordances, consistant en ce que l'un des anneaux d'une espèce se trouve intercalé exactement au milieu entre deux anneaux de l'autre espèce, phénomène qui se produit pour les différences de marche A = (m + ^)n.
» En résumé, les concordances ou discordances numérotent les franges de cj en cr. Si les deux radiations sont très voisines, ce numérotage est à longue période, mais l'observation laisse quelque incertitude à laquelle se rapporte le numéro; il n'en est pas de même si la période est courte (inférieure à 20 ou 3o franges). Mais les franges numérotées se succèdent à intervalles rapprochés. Par un choix raisonné des longueurs d'onde employées et combinées deux à deux, on peut déterminer le numéro d'ordre exact d'un anneau, pourvu qu'on en ait déjà une valeur grossièrement approchée.
» Nous avions utilisé autrefois, pour vérifier les uuméros d'ordre de franges fournies par des lames argentées de faible épaisseur, les radiations
