C. R., 1898, I" Semestre. (T. CXXVI, N- 26. j

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orthogonales, ainsi qu'au cas où ch^ se présente sous la forme >.(//, v)ducli\ Mais il est plus simple, dans ce dernier cas, de profiter du résultat élégant que vous avez donné au n° 52 de vos Leçons et qui revient au fond à ceci : Étant données deux surfaces à courbures totales constantes et égales, dont on connaît les lignes de longueur nulle, on peut obtenir sans aucune intégration les relations finies qui réalisent V application de ces surfaces l'une sur l'autre.

)) Cette conclusion, implicitement contenue dans votre texte, semble n'avoir pas été assez remarquée. Elle a certainement échappé à l'auteur d'un Travail assez récent (A. Wangerin, Festschriften dcr Universitdl Balle- Wittenberg, 1894) qui cite un passage du t. III de vos Leçons et, estimant que vous n'avez pas traité le problème, en donne une solution qui revient à effectuer les calculs dont on est dispensé par votre méthode. »

GÉOMÉTRIE. — Sur le principe de correspondance. Note de M. H. Burkhardt, présentée par M. Picard.

« I. Soit donnée, sur une courbe algébrique de genre p, une correspondance (a, ^), c'est-à-dire une relation analytique entre deux points x, y de la courbe, telle que, le point x(y) étant donné, il v ait fi(x) positions possibles pour le point y(a:-). On appelle point de coïncidence un point ;r qui coïncide avec l'un des pointsyqui lui correspondent. On sait quV/z général on peut définir un nombre entier k, positif, nul ou négatif, de telle manière que le nombre C des points de coïncidence soit égal à a + p -+- 2X/?; on appelle ce nombre^- lavaleuràe la correspondance. Sur des courbes spéciales, il y a des correspondances exceptionnelles qui ne sont pas à valeur. En suivant la voie ouverte par M. Hurwitz pour le cas de a = |i ^ i (^Math. Ann., t. XLl, p. 406; 1893), on peut démontrer le théorème, valable tant pour les correspondances à valeur que pour les correspondances exceptionnelles :

» Le nombre des coïncidences cVune correspondance (^'x., p) sur une courbe de genre p n' est jamais supérieur «(a-t-[î)(/>-f-i).

» Car, soit x^ un point de la surface de Riemann l'eprésentant l'équation de la courbe, qui ne soit ni un point de Weierstrass, ni un point de coïncidence de la correspondance donnée. On peut former une fonction de la surface, qui devient infinie de l'ordre p -\- i exactement au point .Tu et qui ne devient infinie nulle part ailleurs. Soit z la valeur de cette fonction au point variable x; :•', z", . . ., z^^' ses valeurs aux points y', y". . . . , y'P' qui

( i855 ) correspondent à x. Le produit

représente une fonction de x, univoque sur la surface. Il devient infini :

» De l'ordre fi(p -i- i) au point x = x„;

» De l'ordre /j -f- i à chacun des y. points .r qui correspondent à v ^ x„; nulle part ailleurs.

» Parmi ses zéros, on trouve les C points de coïncidence. Le nombre des zéros d'une fonction algébrique étant égal au nombre de ses infinis, on en conclut :

1) La démonstration se trouverait en défaut si la fonction :■ prenait la même valeur dans deux points correspondants variables; car alors le produit serait identiquement égal à zéro. Mais dans ce cas le point x„ serait un point de coïncidence, contre l'hypothèse.

» Quand la correspondance est à valeur, on conclut :

c'est-à-dire la valeur positive la plus grande possible est égale et opposée à la valeur négative la plus grande possible.

n En prenant pour Xg un point de Weierstrass, on peut obtenir des limites plus serrées; mais alors il faut excepter les correspondances pour lesquelles les points de Weierstrass sont des points de coïncidence.

» IL En se plaçant sous un autre point de vue, on peut déjinir le nombre yt par l'équation C = «-+- 13 4- 2X^7, même pour les correspondances exceptionnelles. Alors on peut se demander si ce nombre est toujours un nombre entier. Je ne sais pas si l'on a déjà remarqué qu'il est fractionnaire dans l'exemple suivant : La courbe =^-h5- — 1 = 0 admet la correspondance ([, \)z'=^tz, s'^=s, i étant une racine troisième de l'unité. Les points de coïncidence sont :

» Un s'assure aisément, soit pardes considérations algébriques, soit en introduisant comme variable uniformisante l'intégrale de première espèce

■clz

que chacun de ces trois points ne doit entrer en ligne de compte que pour un seul point de coïncidence. Donc C =^ 3, X- = ^. »

PHYSIQUE. — Sur le mélange des gaz. Extrait d'une lettre de M. Va\ der Waals à M. H. Becquerel.

« Les Comptes rendus du i3 juin renferment une Note de ÎM. Daniel Berthelot, Sur le mélange des gaz, au sujet de laquelle je voudrais faire quelques remarques que je vous prie de communiquer à l'Académie.

» M. D. Berthelot admet, pour la compression d'un mélange, une formule analogue à celle d'un gaz simple, et bien de la forme

» C'est précisément la forme que j'ai admise pour un mélange dans ma Théorie moléculaire d'une substance composée de deux matières différentes {Arch. Néerl., t. XXIV; 1891). Quant à la forme delà formule je suis donc d'accord avec lui. Mais, quant à la valeur de A et B, il y a une différence entre les suppositions de M. D. Berthelot et celles que j'ai pu admettre, principalement quant à la valeur de A. J'ai posé

A = a,(i — x"^) -t- 2rt, 2x(i — x) -+- a.^x-,

ce qui, dans la supposition de M. D. Berthelot, devient

A = tandis que M. D. Berthelot écrit A =

(P + iY-

(z' + yr

crovant que par raison de symétrie, il faut conclure

a, ,, = ya, x.,.

» J'ai toujours cru que quanta la valeur de y.,., on ne peut rien conclure a priori du principe de symétrie; il s'ensuit seulement que le second terme de A doit renfermer les coefficients p el q de la même manière; mais quant à la valeur de a, ^ elle pourrait être tout autre que \'x, x.^. L'attrac-

( i«57 ) lion moléculaire ne dépend pas simplement du poids moléculaire, mais possède quelque chose de spécifique, dont on n'a pas encore trouvé la cause, mais qui pourtant subsiste.

» J'ai pu me convaincre par les propriétés des courbes critiques (courbes de| plissement de ma théorie) ( ' ) que deux cas peuvent être distingués

^■,.-2<\y-,y-> et 7.,.2> s'''-. S'-

» Selon mes vues il n'est donc pas possible de calculer la densité d'un mélange en ne connaissant que les propriétés des gaz qui le composent, comme M. D. Berthelot a fait. Il faut en outre connaître la valeur de x,^. Il se peut bien que dans beaucoup de cas la valeur de y.^ ., s'éloigne peu de Y X, X.,, mais la densité calculée dans cette hypothèse ne peut être regardée que comme approchée. »

PHYSIQUE. — Suj- le mélange des gaz. Note de M. Da.\iel Berthelot.

« Les observations présentées au sujet de ma Note récente sur le mélange des gaz par 51. Yan der Waals, et sur le fond desquelles je suis entièrement d'accord avec l'éminent physicien hollandais, dont les travaux ont jeté une si vive lumière sur la théorie des gaz, m'engagent à préciser quelques points, sur lesquels la brièveté de ma rédaction ne m'avait pas permis d'insister.

» Le but de ma Note était surtout d'établir le mode de raisonnement applicable aux cas de ce genre. Si l'on prend deux gaz sous une pression quelconque, et si on les mélange, il paraît difficile de rien prévoir sur les effets du mélange, ces deux gaz n'étant pas dans des états comparables.

» J'ai fait voir que, pour surmonter cette difficulté, il faut supposer qu'on détende les gaz séparés jusqu'à une pression infiniment faible, qu'on les mélange alors, puis qu'on comprime le mélange.

» Mais pour appliquer ce raisonnement à des cas réels, pour déduire par exemple en toute rigueur la densité d'un mélange de celle de ses constituants, il serait nécessaire, comme l'indique M. Van der Waals, de connaître non seulement la loi de compressibililé des gaz séparés, mais encore

(') Verslag. koninkl. Akademie Amsterdam, nov. 1897, dont la traduction paraîtra proctiainement dans les Ârch. .\éerl.

celle du mélange même ('). Or, nous manquons presque entièrement de données expérimentales sur ce point.

» A défaut d'expériences directes, je me suis demandé dans le cas auquel je me suis expressément borné dans toutes mes Communications, cas très restreint au point de vue physique et analytique, bien que particulièrement important au point de vue chimique, celui d'une pression voisine de la pression atmosphérique, si l'on ne pourrait pas y suppléer par une hypothèse simple, dont on vérifierait ensuite les conséquences. C'est à ce titre c|ue j'ai admis a, o= \ci.,rx.-,; et de fait, les vérifications numériques se sont trouvées fort satisfaisantes, même pour des gaz comme l'anhydride sulfureux, qui s'écartent notablement de la loi de Mariotte. Ce résultat méritait d'être signalé, l'énoncé classique de Dalton sur le mélange des gaz, aussi bien que l'énoncé dans lequel on substitue les volumes aux pressions, étant également en défaut dans ce cas.

)) Si l'on s'éloignait du voisinage de la pression atmosphérique, le mode de raisonnement que j'ai proposé serait encore applicable; mais des expériences nouvelles deviendraient sans doute nécessaires pour fixer les coefficients de la formule de compressibilité du mélange.

» La question de la compressibilité d'un mélange de gaz au voisinage du point critique est en effet un problème beaucoup plus complexe que celui que j'ai abordé; on n'arrivera sans doute à l'élucider qu'en suivant la voie tracée par les belles expériences de MM. Cailletet, Van der Waals et Kuenen, et par les profondes recherches théoriques de M. Van der Waals. 1)

( ' ) Cy. la remarque analogue que je faisais sur le niélauge tonnant, 1I-+0 {Comptes rendus, t. CXWI, p. io3i ; 1898). On sait d'ailleurs que le mélange préparé par électrolyse ne répond pas en général à la composition exacte H-+0, mais renferme un excès d'hjdrogène, à cause de la formation de produits secondaires (acide persulfurique et eau ox3'génée, ou peroxydes alcalins). C'est ainsi que M. Morlej, ayant trouvé que la densité par rapport à l'oxygène du mélange résultant de l'électrolyse d'une solution alcaline était égale à 0,37475 (M. Leduc a trouvé 0,87479)1 a constaté, en analysant les mélanges qu'il avait obtenus, qu'ils renfermaient un excès d'hydrogène lequel représentait de 0,00019 à 0,00042 du volume total du gaz: ce qui entraîne une correction de 0,00057 à 0,00126 pour la valeur du rapport H-:0 qui exprime la composition en volumes de l'eau {Zeitschrifl fur pliysiU. Clieinie, t. X.\, p. l\io\ 1896).

PHYSIQUE. — Sur le mélange des gaz. Note de M. A. Ledit, présentée par M. I.ippmann.

« Dans une Note récente ('; M. Daniel Berthelot a montré comment on peut retrouver, par un calcul où il utilise les données numériques de nos expériences sur la rompressibilité et la densité des gaz, les ré^ultats que nous avons obtenus, M. Sacerdole et moi, dans l'étude du mélange des gaz.

') L'accord du calcul et de l'expérience est particulièrement remarquable en ce qui concerne le mélange CO-4- S0-. .M. Berthelot trouve en effet que ce mélange effectué à 0°, sous la pression atmosphérique, doit donner lieu à une augmentation de volume (ou de pression) de o,ooiq, alors que les nombres obtenus par nous sont compris entre 0,0018 et 0,0019.

)) L'écart peut être attribué aux erreurs, très petites mais nombreuses, des diverses expériences, aussi bien qu'à l'imperfection de la loi de Van der Waals et du principe sur lequel s'appuie M. D. Berthelot.

» Je dirai même plus : à mon avis la coïncidence est trop parfaite, grâce à ces diverses causes.

» Je crois utile d'insister à ce sujet sur un point que j'ai déjà f\iit ressortir : bien que les données critiques des gaz mélangés, que le calcul fait intenenir seules, jouent le rôle principal pour les gaz faciles à liquéfier, il faut tenir compte aussi, en général, de leur atonùcité et de leur masse moléculaire .

» J'ai montré, en effet, que le mélange de l'azote et de l'argon pour former l'azote atmosphérique donne lieu à une augmentation de volume de 0,0001 environ, que l'on ne trouverait pas en ap|)liquant le calcul de M. D. Berthelot.

» D'autre part, il ressort de mes diverses expériences relatives à la composition de l'eau que le mélange H--f- O a lieu avec une augmentation de volume de 0,00023 environ, tandis que ce même calcul donne seulement 0,00004. "

(') Comptes rendtus, séance du ijjiiin

PHYSIQUE. — Sur la chaleur sppcijicj lie de V air à pression conslanle. Note de M. A. Leduc, présentée par M. Lippmann.

« D'après Regnault, la chaleur spécifique G de l'air sous la pression atmosphérique est sensiblement indépendante de la température et égale

» Ayant à faire usage, dans une prochaine Note, de cette chaleur spécifique, je désire appeler l'attention sur une erreur importante, qui ne paraît pas avoir été signalée jusqu'ici.

)) Après avoir constaté (') que la détente du gaz entre le régulateur de débit et l'atmosphère a lieu pour les trois quarts dans le récliaulTeur et pour un quart seulement dans le calorimètre, Regnault recherche directement si la détente dans ce dernier produit une absorption de chaleur sensible.

» A cet effet, il remplace le réchaufleur par un bain d'eau à une température voisine de celle du calorimètre, et opère exactement comme pour déterminer une chaleur spécifique.

H Mais il calcule au contraire, au moyen de celle-ci déjà connue et des divers renseignements accoutumés, la température finale du calorimètre, corrigée du refroidissement, etc.

» Dans un premier essai où iSoS'' d'air sont débités en six minutes, la température du calorimètre s'élève de 0°, 35, tandis que le calcul donne o'',4o. Il y a donc un déficit de o'',o5. Or, dans l'expérience correspondante (c'est-à-dire dans laquelle la même masse d'air est débitée dans le même temps, le réchauffeur étant à 180° environ), la température s'élevait de 8°.

» L'eiïet de la détente était donc y-J-j environ de la quantité mesurée.

« Dans un deuxième essai à blanc où i638'' d'air s'écoulent en sept minutes, l^egnault constate un déficit de 0°, 07 alors que dans l'opération correspondante l'élévation de température est de 11°, 2. L'effet de la détente est encore de -^.

» C'est sans doute par inadvertance que Regnault déclare cet effet négligeable puisqu'il écrit ses nombres avec cinq décimales.

» Quoi qu'il en soit, les résultats de Regnault, relatifs à l'air, sont entachés d'une erreur systématique, du fait de la délente, d'environ y-. Son résultat moyen 0,2875 doit donc être porté à 0,2.39, indépendamment de toute autre considération, et tout porte à croire que ce nombre est approché par défaut.

(') Reldiion des expériences, t. II, p. loG.

» Notons que c'est justement le nombre ti'ouvé par E. Wiedemann (') comme moyenne de résultats partiels compris entre 0,2374 et o,24i4-

» J'aurai l'occasion de revenir sur la chaleur spécifique de l'anhydride carbonique. »

PHYSIQUE. — Sur [a radiation des manchons à incandescence. Note de I\IM. H. Le Chatei.ier et O. Bocdouard.

« Pour expliquer le rendement lumineux élevé des becs Auer de nombreuses théories ont été proposées, invoquant toutes quelques phénomènes exceptionnels. Nous nous pi'oposons de montrer ici que chacune de ces théories est en contradiction avec l'observation directe des f;iitset que les lois ordinaires du rayonnement suffisent pour rendre compte du fonctionnement des manchons à incandescence.

» La luminescence, c'est-à-dire une sorte de fluorescence par laquelle certaines radiations des corps incandescents seraient transformées en radiations de longueur d'onde différente, sert de base à l'explication la plus souvent donnée de l'éclat considérable des manchons aux tei-res rares. Cette théorie a été formulée la pi'emière fois par MM. Nichols et Snow (- ) pour expliquer l'incandescence de l'oxyde de zinc; elle suppose que, pour certaines radiations, lè pouvoir émissif du corps est supérieur à l'unité. Ces savants se sont contentés de montrer que le pouvoir émissif de l'oxyde de zinc était supérieur à celui du platine; mais, comme celui-ci n'est que de 0,23, la preuve n'est pas concluante. Nous avons étudié le pouvoir émissif de smanchons Auer en recouvrant la surface d'un couple thermo-électrique d'une pâte de même nature et mesurant le rapport de l'intensité de la radiation superficielle à celle du fond de fissures mettant à nu le platine. Les nombres obtenus ainsi sont erronés par excès à cause du défaut de profondeur des fissures qui ne réalisaient pas rigoureusement une enceinte close à température uniforme.

Rouge

\en

Bleu

Température.

(') Pliilosop. Mag., b' série, l. II, p. 94, 1876. (2) Phil. Mag., t. XXXIIl, p. 19; 1892.