CL
——-') limite inférieure;
le point [:r, y^ ne pourra donc pas passer sur l'arc LAM.
Supposons le premier cas, c'est-à-dire ao == — ^ — /i, le
point [jc, y] ne pouvant pas passer sur Tare BLB', sans
que la série devienne divergente, ne pourra pas, à plus
forte raison, se rendre en L' : le point d'arrêt sera donc L.
Il en jsera encore de même dans le second cas, ou ao
aurait une valeur ,+ A, mais on en donnera une autre
raison qui est que le module de (^0 — l'abscisse de L)
sera alors moindre que celui de (;ro — l'abcisse de L') ; en
elï'et, le premier sera
( >65 ) et le second
Ainsi, quelque part que Ton plaçai le point origine, sur une demi-conjuguée tangente à la eourbe réelle en un point de Tare MA.L, le point d'arrêt serait toujours L.
De même, le point d'arrêt serait U, si le point [o^o, yo] appartenait à une demi-conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de Tare M! A!U.
Cherchons maintenant la courbe d'équilibre entre les deux points L et L'. L'équation caractéristique de cette courbe est
c'est-à-dire
mod ( Xo -— ) = inod ( Xq-] ;- ],
--iij-^» = (--3f3^-^^»
ou
Cette condition paraîtrait comporter deux interprétations : la première que le milieu de la corde réelle passant par le point [j7o, jKo] se trouvât sur l'axe des j^, etla seconde que le point [^oiJKo] appartînt h l'enveloppe imaginaire des conjuguées dont les coordonnées sont imaginaires sans parties réelles.
Mais l'inspection de la figure montre que, pour qu'une corde réelle d'une conjuguée eût son milieu sur Taxe des y, il faudrait que cette conjuguée toucliàt la courbe réelle en un point de l'une de ses branches A M ou A' M', et l'on a vu que le point d'arrêt est alors L ou U.
La condition a= o signifie donc que le point origine doive appartenir à l'en veloppe imaginaire des conjuguées ; et le fait s'explique alors tout naturellement, car il est facile de voir que, si le point [.>^'o? >'o] se trouve sur l'en-
( «6fi ) veloppc imaginaire, il pourra se rendre à l'origine sans sortir delà région de convergence; or il lui resterait alors juste le même chemin pour parvenir en L ou en L'.
Cela posé, si le point [xo, jKo] appartient h une conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de l'arc LOL', le point d'arrêt sera [. ou U, selon qu'on aura
c'est-à-dire suivant que ao sera positif ou négatif; ou
encore selon que le point origine appartiendra à une
demi-conjuguée tangente à la courbe réelle en un point
de Tare OL ou en un point de l'arc OL'.
Enfin supposons que le point origine appartienne à
une conjuguée tangente à l'enveloppe imaginaire : les
conditions pour que le point d'arrêt soit en L ou en U
seront toujours
«0 > o ou «0 < o ;
mais il faut en avoir l'interprétation. Or, sur chacune des demi-conjuguées en question, les deux parties où a aura des signes contraires seront séparées par le point de contactavec l'enveloppe imaginaire; elle reste va de soi. En effet, les deux points P et P' où une même conjuguée touche l'enveloppe imaginaire ont respectivement pour coordonnées
37 = p y — I avec y = ?' V — *
et
x = — p v^ — I avec y =^ — ^' y — i,
de sorte que POP' est précisément une des cordes réelles de la conjuguée; les autres lui sont parallèles, de sorte que la condition ao^ o exprime que le point [xo>yo]se trouve, sur la conjuguée où on l'a placé, à l'extrémité
( '6? ) d'une corde réelle placée au-dessous de la corde qui joint les points de contact de cette conjuguée avec l'enveloppe et la condition cf.<^o exprime le fait contraire.
