Considérons infini le lieu

Fig. 32.

Les points critiques sont : l'origine [a: = o, j^ = o], le point A {Jig- 32)

[x=ay\, y=: as/2.] et deux points imaginaires 5 le point D

et le point D'

-,y^asji }^ J

( '68) Ces deux derniers appartiennent à la conjuguée

tangente à la courbe réelle en B et à l'enveloppe imaginaire en D et D'.

Les asymptotes imaginaires du lieu étant

on construirait aisément celles de la conjuguée DBD'. Nous placerons d'abord le point origine [xo, yo] s^r une conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de Tare OT', parce que, pour s'approcher successivement des points O, A,D ou ly, un point [j^^j)^] du lieu, qui partirait du point [jCo,j^o]î ainsi placé, devrait passer successivement sur toutes les conjuguées du lieu, le point de contact avec la courbe réelle de la branche qui le contiendrait décrivant cette courbe réelle dans le sens T'OCAC'OBT, et que, comme le prouvera la discussion, c'est précisément dans l'ordre O, A, D ou D' que se présenteront les points d'arrêt, lorsque le point originaire [^ojJTo] s'avancera sur les conjuguées du lieu, dans l'ordre qu'on vienl d'indiquer pour le point

Le point [xo,j>'^o] appartenant, comme on l'a supposé, à une conjuguée du lieu, tangente à la courbe réelle en un point de l'arc OT', le point [x, y\^ représenté par l'équation j^ = la série, pourra passer sur la branche réelle T'O, près du point O, si l'on peut trouver sur cet arc T'O un point [j: = a, j^ r= a'], tel que

mod(;ro — a)< mod(a7o — o), OU que

C'est-à-dire

— 'laao-f- a2< o,

ou, comme a devrait être positif,

ce qui exigera que ao soit positif, c'est-à-dire que le point [j^Oî JKo] lie soit pas trop éloigné du point de contact avec la branche T'O de la conjuguée à laquelle il appartiendrait.

Mais dans ce cas, de ao^o, le point [.3?,j^] fourni par la série ne pourra pas passer sur la branche de la conjuguée C = oo tangente de O à la courbe réelle; il ne pourra donc pas, à plus forte raison, se rendre près du point A ni près de l'un des points D ou D', et le point O sera le point d'arrêt de la convergence de la série.

Au contraire, dans la même hvpothèse où la branche de conjuguée contenant le point [xo J ] toucherait la courbe réelle en un point de l'arc T'O, si ao était négatif, le point [x, y] fourili par la série ne pourrait ])lus passer sur l'arc T'O, mais pourrait passer la branche de la conjuguée C = oo tangente à la courbe réelle en O, parce que l'on pourrait trouver sur cette branche un point

(^=-a,7 = a'=±:?'v/=^), tel que

mocl(^o-H a)< mo(l(:ro — o,

Mais alors le point [.>f',J ] fourni par la série, ne

ou que

c'est-à-dire

( '70) pourrait pas parvenir au point Â, parce que le module

de [xq — rt V4) serait plus grand que celui de (xq — O). En eilet, ao étant négatif, le premier module

(ao-av^4)VpS serait plus grand que le second

Ainsi, dans ces dillerenls cas, le point O sera et restera le point d'arrùt.

Supposons que le point origine [j^ojjTo] vienne du plan sur une branche de conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de l'arc OCA. Le point d'arrêt restera le point O tant que le point [j^o^J^o] ii'aura pas traversé la courbe d'équilibre entre O et A, courbe dont l'équation caractéristique est

mo(\{xQ — O) = mod(iFo — ^^4) ou

c'est-à-dire

OLo =

Ainsi le point d'arrêt restera le point O tant que le

milieu de la corde réelle contenant le point [a:o,.Xo] ï*estera à gauche de la droite GC, équidistante de l'axe des y et de la tangente menée en A à la courbe réelle.

Le périmètre de la région de convergence passera à la fois en O et en A lorsque le milieu de la corde réelle contenant le point [j^^oî^o] se trouvera sur le prolongement de ce.

Enfin le point d'arrêt se trouvera en A lorsque le milieu de la corde réelle contenant le point [j^OîJKo] se trouvera à droite de C'C.

A partir de ce moment, le périmètre de la région de

( '7' ) convergence pivoiera autour du point A jusqu'à ce que le point [jCoîJ'o] vienne traverser Tune ou Tautre des courbes d'équilibre entre A et D ou entre A et D'.

La première de ces deux courbes est caractérisée par la condition

mod {a:^, — a y^4 ) = mod yxo — a v^4 — )»

qui se réduit à

et la seconde Test par

— ao ^3 = Po.

On voit que les premiers membres resteraient moindres que les seconds si le point [^o>.Jo] venait se placer sur la branche de la conjuguée C = oo, tangente en A à la courbe réelle, parce que ao serait positif et ^o nul^ par conséquent, le point A serait encore à ce moment le point d'arrêt.

Supposons que le point [j^^oî^'^o] vienne se placer sur une branche de conjuguées tangente à la courbe réelle en un point de l'arc AO ; ao sera d'abord positif; quant à ^Oî qiii partira de zéro, il sera positif ou négatif, selon que le point [xq^J^o] se trouvera sur la branche de droite ou sur la branche de gauche de la conjuguée qui le contiendra, en sorte que, si le point [j^oî^'o] se trouve sur la branche de droite de la conjuguée en question, ce sera le point D qui pourra devenir le point d'arrêt, et que si, au contraire, le point [xo,j^o] se trouve sur la branche de gauche de la même conjuguée, ce sera le point D' qui pourra succéder au point A, comme point d'arrêt.

Si l'on suppose le premier cas, c'est-à-dire p^ > o, le point D deviendra le point d'arrêt, au lieu du point A,

( '7^- ) dès que

— olq /s deviendra plus grand que — ?o(Po étant positif);

dans le second cas, le point D' deviendra le point d'arrêt, au lieu du point A, dès que

— ao /3 deviendra plus grand que ^o (po étant négatif).

7.Q prenant d'abord la valeur de Tabscisse du point de contact de la branche de )a conjuguée dont il s'agit avec Tare AO et po étant alors nul, ni Tune ni l'autre des deux conditions ne se rencontrera que sur une corde réelle de la conjuguée, assez éloignée de son point de contact avec Tare AO et jusque-là ce sera le point A qui restera le point d'arrêt.

Au delà de cette corde réelle, ce sera le point D ou le point D' qui deviendra le point d'arrêt, suivant que le point [j'oj/o] se trouvera sur la branche de droite ou sur la branche de gauche de la conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de Tare AO.

Si le point [xcjj'o] vient se placer sur la conjuguée à ordonnées réelles, tangente à la branche T'O A en O, la valeur deyo s'exprimera par

yQ= a'o (a'o étant négatif) et les valeurs de Xq seront fournies par l'équation

la racine l*éelle de cette équation serait l'abscisse positive du point de rencontre de la brandie OT' avec la droi te j)^ r= a'y , mais ce point de rencontre n'entre pas en question. Les deux autres racines seront

leur somme iolq, ajoutée à l'abscisse du pointsitué sur la brandie OT' devra donner une somme nulle, par conséquent ao devra être négatif.

En conséquence, ni la condilion

— «0 v/3 < ~ po'

ne pourra cire satisfaite par un point [j^o> J'o] de la branche de droite de la conjuguée en question, et le point D aura définitivement succédé au point A comme point d'arrêt, même en supposant le point [xo,^ o] ^^~ définiment voisin du point O; ni la condition

— «0 v/3 < Po

ne pourra être satisfaite par un point [^o^^Xo] de la branche de gauche de la même conjuguée en question, et le point D' aura définitivement succédé au point A comme point d'arrêt, môme en supposant le point [jCo,yo] indéfiniment voisin du point O.

Supposons enfin que le point [^o^Jo] P^^^e sur une branche de conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de l'arc OT : la courbe d'équilibre entre les points D et D' étant

mod (xq — « v^4

= mod \Xq — « V 4

«^4V. f^^aVi^^'

c'est-à-dire ^o = o.

On voit que le périmètre de la région de convergence passera à la fois par les deux points D et D' lorsque le point [xo,jKo] se trouvera être justement le point de contact, avec Tare OBT, de la branche de conjuguée sur

laquelle il aura passé, et que le poiiil d'arrêt sera D ou ly, selon que ^o sera positif ou négatif, e'est-à-dire selon que le poiut [j?o> J>^o] se trouvera sur la branche de droite ou sur la branche de gauche de la conjuguée sur laquelle il aura passé.

Sur la coni^ergence du déveioppement en série d'une fonction de deux variables indépendantes * — On trouvera dans le second Volume de ma Théorie des fonctions de variables imaginaires ce qui concerne la convergence du développement en série, par la formule de Taylor, d'une fonction de deux variables indépendantes X et Y, définie par une équation

Cette question, entièrement neuve à l'époque (*), est ramenée à la précédente par cette considération évidente que le développement

-+- y- (Y — ^)-+-li-— ^ 4-...

oy Oxoy i .'i

ordonnée en groupes homogènes par rapport à (X — .r) et à.(Y — j), coïncide identiquement, pour chaque système de valeurs fînales deX et de Y, avec le développement de la fonction Z de X seul, qui serait définie par

les équations

(*) Elle n'avait clé traitée auparavant que par MM. Briot et Bouquet, dans leur Théorie des fonctions doublement périodiques.

( '75) et

k étant la valeur que prendrait le rapport :^7 — ^ pour

les valeurs finales qu'on aurait résolu d'avance de donner à X et à Y; de sorte que la question n'est autre que celle du développement de l'ordonnée Z de la projection, sur le plan des XZ, de la section de la surface

par le plan