X . Y /— c c OU

Ces tangentes ont donc pour équations en coordonnées réelles

elles sont rectangulaires entre elles et elles passent géométriquement par les foyers imaginaires de Tellipse

a7 = o et y =zzïi c

d^ailleurs leurs équations en coordonnées imaginaires

sont satisfaites par x = o avec y = ±c y/ — i . C'est pour cela que le calcul donne les deux foyers imaginaires.

Les quatre tangentes menées à Tellipse des deux foyers réels F et F' forment un carré dont les autres sommets sont les foyers imaginaires cp et cp'. Les tangentes menées des points ç et ^' considérés comme imaginaires coïncideraient avec les tangentes menées des points F et F' réels.

Le carré F'cpFcp' est géométriquement et analytiquement inscrit à la conique.

Si l'on rapportait l'ellipse à deux de ses diamètres conjugués a et J' et que, en supposant a! > b\ on prît sur le diamètre a' le point situé à une distance du centre

égale à c'= ^a''^ — b^^ on arriverait à des conclusions analogues; seulement, au lieu d'un carré inscrit dans la conique, on trouverait un parallélogramme ayant ses diagonales égales^ les quatre sommets seraient des similifoyers.

Si l'on faisait varier le système des diamètres conjugués, les quatre simili-foyers décriraient un lieu sur lequel ils se réuniraient à l'origine lorsque les diamètres conjugués viendraient se confondre avec ceux qui sont égaux 5 à ce moment, les quatre tangentes deviendraient géométriquement indéterminées \ elles seraient bien représentées, par rapport aux axes, par exemple, par l'équation complètement déterminée

mais toutes les conjuguées de ce lieu répondraient à la question, parce qu'elles contiendraient toutes le point donné (j^o^JKo)? transporté à l'origine. L'ensemble de

( 3. ) ces conjuguées serait constitué par Tensemble des asymptotes de toutes les hyperboles conjuguées de l'ellipse. Nous verrons bientôt qu'il en est de même pour tous les lieux algébriques : si, en cherchant les asymptotes d'une courbe f(^x^y)= o^ on en a trouvé une imaginaire

y =z(m-^ n yj — \) x -\- p -4- q / — i ,

en réalité, on a trouvé un faisceau d'asymptotes à toutes les conjuguées du lieu proposé.

Si le point (^o? J^o)> \^^^ lequel on voulait mener des tangentes à un lieu y*(a:,^)= o, était imaginaire, les m{m — i) tangentes trouvées appartiendraient à des conjuguées non désignées d'avance et d'ailleurs ne passeraient généralement plus par le point (.ro, j^o) réalisé. Ce cas ne présente aucun intérêt pratique.

7. Quelques propriétés de l'çm^eloppe imaginaire, — Si Ton propose de mener à un lieu de degré m, y(jc,j^)=o, des tangentes parallèles à une direction réelle donnée, j^ = kx, les points de contact appartiendront soit à la courbe réelle, soit à l'enveloppe imaginaire des conjuguées. Le nombre total de ces tangentes sera m(m — i), puisque les équations du problème seront

f(x,y)=o et -dJf=k.

Jy

Il en résulte que, si l'une des enveloppes n^a que p tangentes parallèles à une direction donnée, l'autre en a m(m — i) — p, A ce point de vue, les deux enveloppes sont supplémentaires,

Sïj=^ mX H- cp(fw) est l'équation générale des tangentes à la courbe réelle représentée par une équation,

/(X,Y)=o, Y = (w-h7îv/=:T)X-f-'f(m-+-/7v/^)

sera évidemment Féquation générale des tangentes à toutes les conjuguées. La solution double commune aux deux équations

/(X, Y)=o et Y = (m-hnv/^=7)X-hcp(m-4-/iv/^)

représentera le point de contact et si, dans cette solution double, on a ^ = C, la conjuguée C du faisceau

sera tangente au point en question à la conjuguée C du lieu/(a:,j) = o.

Aux valeurs réelles de w, pour lesquelles o{m) serait imaginaire, correspondront des tangentes à l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu/(X, Y)= o.

Si <f{fn) peut devenir imaginaire, deux de ses valeurs deviendront momentanément égales et le point de contact des deux tangentes confondues sera alors un point d'inflexion du lieu réel.

Ces deux valeurs de cp(w) pourront, avant d'être devenues égales, être représentées par

iKm)±v/x('^)'

yjjn) étant alors positif; aussitôt après, elles deviendront

— X(^) ^^^^^ alors positif.

Les deux tangentes au lieu réel seront représentées par

¥= mX -h ^{m)±: \/x{m); quant aux deux tangentes à l'enveloppe imaginaire,

( 33 ) elles le seront par

Maïs celte dernière équation ne représente que la seule

droite

Y = mX-f-cp(/?i)=iz / — y{ m) .

Il résulte de là que les deux enveloppes d'un même lieu sont respectivement les enveloppes de droites représentées, pour l'une, par une équation telle que

et, pour l'autre, par Téquation correspondante

Y = mX + 4'(w)d= s/ — X^ni) .

11 en résulte que les deux eiweloppes d^un même lieu sont toujours réciproques lUine de Vautre, lorsqu'elles coexistent.

Au moment où y^{m) s'annule, le point de contact appartient à la fois aux deux enveloppes et est point d'inflexion pour l'une et pour l'autre, puisque les deux tangentes, à ce moment confondues, à Tune ou à l'autre, deviennent instantanément imaginaires pour l'une ou l'autre suivant qu^on fait varier ni dans un sens ou dans l'autre, à partir de sa valeur singulière. Il en résulte que les deux env^eloppes ont toujours les mêmes points d'inflexion, qu elles se touchent en ces points et qu'elles s'y tournent leurs convexités.

Une asymptote réelle

d'un lieu réel est toujours la réunion de deux tangentes à deux branches distinctes du lieu. Lorscjue cette asymptote

ne coupe le lieu qu'en deux points situés à l'iniini, sa M. 3

direction est généralement une direction limite pour les tangentes au lieu. Si Ton essayait de faire varier dans un sens convenable la direction de la tangente, à partir de celle de l'asymptote, les deux tangentes, un instant confondues, deviendraient imaginaires et, leur coefficient angulaire étant resté réel, les points de contact appartiendraient à Tenveloppe imaginaire.

Il en résulte que les fieiix enveloppes ont généralement les mentes asymptotes.

8. Des asymptotes aux courbes imaginaires. — Lorsque le coefficient du premier terme d'une équation algébrique se rapproche de zéro, l'une des racines de cette équation grandit indéfiniment; mais, en devenant infinie, elle devient indéterminée : son module devient infini, mais son argument reste indéterminé si, du moins, on ignore comment le coefficient du premier terme de l'équation considérée est lui-même parvenu à la valeur zéro; car, zéro est aussi indéterminéVjue Tinfini, étant l'un et l'autre des nombres dont les modules ont diminué ou crû indéfiniment, leurs arguments pouvant être restée quelconques.

Supposons que deux équations algébriques

/(^j7) = o et /i(a7,7) = o,

de degrés m et n^ soient telles que l'élimination, entre elles, de y conduise à une équation en x, de degré nin — /?, on dira que p des points d'intersection des deux lieux se sont transportés à l'infini, ce qui exprimera simplement qu'il n'en est resté que mn — yt;, à distance finie; mais, en réalité, les abscisses et, par conséquent, les ordonnées des p points passés à l'infini seront devenues indéterminées : en réalité, les deux lieux auront p infinités de points communs à l'infini.

Mais, si , au lieu des lieux superficiels f= o et /^ = o,

on considère spécialement, sur ces deux lieux, les deux

courbes qui seraient définies par les mêmes équatious

auxquelles on aurait adjoint une équation coniplémen-

taire

ces deux courbes auront seulement p points communs à Tinfini.

Quant aux arguments des coordonnées de ces p points rejelés à l'infini, ils seront parfaitement déterminés.

En efVet, les valeurs infinies de x et à^J devront satisfaire indifféremment à l'un ou Tautre des deux systèmes

f=o et cp = o ou y*! = o et ç> = o,

ces deux systèmes admettant également les solutions infinies considérées.

Supposons qu'on les recherche dans les équations /

et cp : Téquation /{oL-h^ \/ — i, ol'-\-^' y/ — i) = o se décomposera en deux autres, dont les premiers membres, pour des valeurs infinies de a, [3, oc! et [3\ se réduiront aux parties homogènes des plus hauts degrés; de même, l'équation cp(a, p, ol\ P') = o, pour les mêmes valeurs infinies de a, p, ol' et [3', se réduira aussi à une équation homogène en a, [3, ex! et P'.

Les valeurs infinies de a, [3, a' et [3' seront donc déterminées par trois équations homogènes qui assigneront les valeurs des rapports deux à deux de ces quatre quan-

tités, et, notamment, celles des rapports - et— , > ou les

valeurs des tangentes des arguments de x et dej^ devenus infinis.

Cela posé, supposons que l'on ait recherché, par les

(36) mélliodes ordinaires, les asymptotes d'un lieu

et qu'on ait trouvé pour Tune d'elles un coefficient angulaire égal à m -f-/iy/— i, et une ordonnée à l'origine,

égale k p -\- {f y/ — i : en raison du calcul même, l'élimination de Y entre

fournira une équation d'un degré moindre de deux unités que celui de J^(^x^j)= o.

Ainsi, si Ton adjoignait séparément, aux deux équations

une même relation complémentaire

les deux courbes ainsi définies seraient asymptotes l'une à l'autre, et auraient en commun deux points à l'infini.

Les conclusions seront les mêmes si l'on prend, pour

relation complémentaire commune, ^ = C ; mais alors

les deux courbes considérées seront : l'une la conjuguée C du lieu

ell 'autre la droite de caractéristique C du faisceau

On voit ainsi que, lorsqu'on rencontre, pour un lieu algébrique, une asymptote imaginaire, en réalité, on a

(37) trouvé un faisceau d'asymptotes à toutes les conjuguées de ce lieu.

On peut vérifier cette proposition de la manière suivante :

Si, en recherchant les asymptotes d*une courbe f{oCyj) = o, on a trouvé, pour Tune d'elles,

y = {m -{- n / — i) X -^ p -\- q yj —\,

il résultera du calcul même que, Tune des formes dej)^, définie par Téquation f(^x^j) = o^ se trouvera être

y = {m->r n yj — \)x -^ p -\- q yj— i

plus une fonction ^(j:) dont le module tendrait vers zéro, lorsque le module de x croîtrait indéfiniment. Mais, si Ton considère les deux lieux à abscisses réelles, définis par les deux équations

y=z\m-\-n \l — \)x -^ p -^ q y/ — i et

y = (m -f- n \J — \)x -\-p -h q \/ — i H- cp(a7),

d'une part, ils se réduiront, le premier, à la conjuguée C = 00 du faisceau

{m -+- n \J— i)x -hp -+- q \J — i ;

et, le second, à une branche de la conjuguée C = oo du lieu

D'ailleurs, les équations en coordonnées réelles de ces deux lignes seront, la première,

y z=(^m-\- n)x -\- p -^ q et, la seconde,

y = {m-^ n)x 4- /? + ^ + cpi (a:) H- (fi{x), 'fi (x) désignant la partie réelle évanouissante de 'f (^)>

cl '^2(jr)lo rocflricient, aussi évanouissant, do y/ — i , clans 'f(x).

La droite C = x du faisceau

y — {m -h Fi \l — i)j:- -\- p -^ q >J — i sera donc asymptote à la conjuguée C = oo du lieu

Cela posé, il est clair que, si deux lieux, de degrés m et /i, sont tels qu'en éliminant j'entre leurs équations par rapport «T un système donné d'axes, l'équation résultante en X soit du degré mn — /; seulement, il en sera toujours de même, quels que soient les nouveaux axes aux- (juels on viendrait ensuite à rapporter les deux lieux, parce que, aux run — p solutions iinies trouvées précédemment, il correspondra toujours, en raison des formules de transformation, inn — p solutions finies, nouvelles, et que, aux p anciennes solutions infinies, il correspondra, de même, p solutions nouvelles infinies.

Il en résulte que, si l'élimination de j entre

y = (m -h n / — i)a7 -hp-h q \J — i et une équation

de degré m, conduit à une équation en x, de degré {lit — 2) seulement, le même fait se reproduira entre les équations des deux mêmes lieux, rapportés ensuite à de nouveaux axes quelconques \ de sorte que les conjuguées des deux lieux, dont les cordes réelles seraient parallèles au nouvel axe des y^ seront perpétuellement asymptotes Tune à l'autre. On voit ainsi que, si Tune des asymptotes d'une courbe se présente sous une forme

imaginaire

(39) cette équation représentera un faisceau d'asymptotes h toutes les conjuguées de la courbe, et que la conjuguée C du faisceau sera l'une des asymptotes de la conjuguée C

de la courbe.

Une asymptote réelle, jr = mx -h />, à la courbe réelle est aussi asymptote à la conjuguée C = m du lieu-, eu effet, y = nix -j- p sera une corde réelle de la conjuguée

^ =mdu lieu, mais elle coupera celte conjuguée à Tin-

lini. La même asymptote réelle j=mx-\-p sera aussi généralement asymptote à l'enveloppe imaginaire des conjuguées, parce que m correspondra généralement à une direction limite, pour les tangentes à la courbe réelle, de sorte que si Ton faisait varier m infiniment peu, dans un sens convenable, l'ordonnée à l'origine de la tangente parallèle à la nouvelle direction deviendrait imaginaire.

Si Ton avait trouvé pour une asymptote d'un lieu une équation à coefficient angulaire réel

y = mx -h/? H- q /— 1,

cette équation représenterait une tangente à l'infini à

Tenveloppe imaginaire des conjuguées, c'est-à-dire une

asymptote à cette enveloppe.

L'équation en coordonnées réelles de cette asymptote

serait d'ailleurs

y = mx -\- p -h q.

Corollaire I. — Le nombre des asymptotes réelles ou imaginaires, d'une courbe de degré /n est m; mais l'équation d'une asymptote imaginaire en fournit un(; effective pour chaque conjuguée; on en conclut que le nombre total des asymptotes de la courbe réelle et d'une quelconque de ses conjuguées est toujours m.

Corollaire IL — Si les asymptotes d'une courbe de

degré m, étaient réelles, chacune d'elles, à la vérité, pourrait être considérée comme asymptote à la conjuguée du lieu dont la caractéristique serait égale au coefGcient angulaire de cette asymptote ; mais les conjuguées, dont les caractéristiques n'auraient pour valeurs aucun des m coefficients angulaires des m asymptotes, n'auraient pas d'asymptotes, ni par conséquent de branches infinies; elles seraient donc entièrement composées d'anneaux fermés.

9. Théorie des contacts des divers ordres des courbes imaginaires et, en particulier, de leur courbure. — Si deux équations

/(X, Y) = o et /,(X,Y):-o, qui admettent une solution commune

fournissent, pour cette solution, les mêmes valeurs de

-^, -T-^ ^ ••-> -r-^? et si Ton adjoint séparément aux dx dx^ dxP J ^

deux équations /^= o et ^^i = o une même condition

complémentaire

cp(a,p,a',3')::.o,

admettant la solution a = ao, fi=^ |3o, a'=ay et P'= (î'^j, les deux courbes ainsi définies, réalisées selon la règle générale par X4 = a -h [3 et jk< = a'+ [ti' , auront p + i points communs confondus avec le point

[ao-h?o, a'oH-Po].

c'est-à-dire auront en ce point un contact de l'ordre p.

En effet, soient, au point [^,^],

dy /

-f- = mx-\- rix s/— I ax

dxP

= nip-^ ^p^—

les valeurs communes, fournies séparément parles deux équations f=o et /i = o pour X =^ x et Y = ^, des p premières dérivées de Y par rapport à X, si l'on veut connaître les coordonnées [x -]- d^x, y -\- dij] de deux points infiniment voisins du point [j^, J'Ji sur les deux courbes considérées, en posant di x = dcLQ -f- d^o y/ — i

et d^j = doL^ -\- dp'^^/ — I , on aura, pour déterminer rfao, d^Qy doL^ et d'^^^ les conditions

da'^-h d^Q /— I = {mi-^ ^i /— {doio-h d^o s/— i)

ou

et

avec

^a'o = nix dtçs — n\ d^^ d^\ = nii d^Q-h /ij dcLof

?a„«^ao-h ?'po^?oH- ?a;^a'o+ ?Pi^P'o = o:

c'est-à-dire, pour les deux courbes, trois équations homogènes identiques entre doLo, d'^o^ doL^ et rf^^, d'où

l'on conclura les mêmes valeurs pour -7^? et, par suite,

pour -~Ty c'est-à-dire pour di x et pour d^j^ si l'on suppose qu'on prenne, des deux côtés, la même valeur pour doLQ.

Les deux courbes auront donc un second point commun confondu avec le point [««+ (^o, ^^-1- ^o], et les coordonnées imaginaires de ce second point seront X -{- d^x et y + ^i.7«

En ce second point, les dérivées dej par rapport à x, tirées de Tune ou de Taulre des équations f=oou ^1 = 0, auront pris leurs anciennes valeurs augmentées des produits par rf, x de leurs dérivées, c'est-à-dire

= (mj -h «2 / — I ) H- ( /W3 -h «3 /— i) c?iir,

;;;^];:t = (''«/^-i-h /i,.-iv/^)-h (/W;,-4- /i,V— O^i^î

elles seront donc les mêmes de part et d'autre, jusqu'à l'ordre p — i .

Quant aux dérivées ^'èmes Aq y par rapport à x, elles ne seraient pins les mêmes au point \x-\-dsX^j-^d^y\y

fVp^i + /i^+i y/ — 1 n'ayant plus la même valeur sur les deux lieux.

Quoi qu'il en soit, on démontrera comme précédemment que les deux courbes auront encore, au delà du point correspondant à la solution (jc -\- diX^ y -\^ ^< J^)> un autre point commun \x-\-d^x-\-d'iXy y-\-d^j-{-d2j^-, et ainsi de suite, jusqu'au (/> 4- \y*^^^ point*

[x -\- d^x -\- d^x -\- . . . -^- dpXy y -\- d^y -t- d^y -f- . . . -H dpy^ ;

mais le raisonnement ne pourrait pas s'étendre au delà, puisque, arrivés à ce {p -\- i)""'^ point, on ne pourrait plus dire que les dérivées premières de y par rapport à X seraient encore les mêmes, soit qu'on les tirât de f =z o onàG f^=:0.

Le tliéorème énoncé est donc établi quelle que soit la relation = 0.

Il subsistera si, au lieu d'une relation de forme quelconque, satisfaite par les valeurs ao, po? ^q-, ^'^^ des va-

(43) riables, on prend spécialement la relation

C étant la caractéristique du point [Xq, J^o]> et alors le théorème s'énoncera dans les termes suivants :

Si, en un point commun à deux lieux /(X, Y) = o et /'^(X, Y) = o, les dérivées de Xpar rapport à Y, jusqu'à ]^ ^.eme^ sout Ics mêmcs, soit qu'on les tirede l'équation J= o ou de l'équation J\ = o, les conjuguées des deux lieux, passant par ce point commun, y auront un contact du ^'^""^ ordre.

Le théorème subsisterait encore si, au lieu d'être définies par une équation commune cp(a, j3, a', (3') = o, les deux courbes considérées l'étaient par la condition concrète, de constituer les enveloppes imaginaires des conjuguées des deux lieux f=o et J\z= o, c'est-à-dire que, si les enveloppes imaginaires de deux lieux f=o et fi = o ont un point commun [x, y] et que les deux équations f =i o et y^ = o fournissent séparément les mêmes valeurs en ce point pour

les deux enveloppes imaginaires auront, au point réalisant la solution X = x, Y = 7 un contact de Tordre p.

Mais la démonstration doit être un peu modifiée pour s'appliquer à ce cas.

Soient au point [j^,jk]? commun aux deux enveloppes,

-^ j = nti, quantité réelle, par hypothèse,

les valeurs communes des dérivées de Y par rapport à X, au point [j^, J ]i tirées de /(X, Y) = o ou de /,(Y,X) = o. . . ^ ,

Si Ton voulait obtenir, sur l'une ou l'autre enveloppe, un point [jc -\- diX^ y -\- dij] inGniment voisin

du point [j:^, J^], en faisant r/, x = rf^ ao -h rf< P© \/ — i et //| y z= di cl'q -\- d^ ^^ y/ — i , on devrait d*abord, dans les deux cas, faire

va

di a'o H- û^i^iV— I ^

/ — — '"ij

^1^0 -f- dx po V -" '

c'est-à-dire

û?i a'o = mx dx olq et dx p'o = '^^i ^i ?o \

d'un autre côté, le point \xx -\- d^x^ y -\- d^y^ ayant dû rester sur Tune ou l'autre enveloppe, il faudrait que la

leur de ( -ty ) en ce point fût restée réelle, mais cette

nouvelle valeur de -7^ se formerait dans les deux cas de

l'ancienne mi, augmentée du produit par rf^x, de sa dérivée, c'est-à-dire de

(/7i2H- ^2 / — i) dxT OU \niz-\- /I2 / — i) {dxOLQ-\- dx^Q s/ — 1),

d\ ao et dx [3o devraient donc dans les deux cas satisfaire à la même condition

m^ dx Po -^ f^i dx «0 = o, d'où

dx ,3o Tii

dx ao />«2

de sorte que si l'on prenait, dans les deux cas, la même valeur pour dx ^Cq, on trouverait les mêmes valeurs pour dx X et dxy^

D'où l'on voit que, dans les hypothèses admises, les deux enveloppes auront au moins deux points infini-

ment voisins communs, correspondant aux deux solutions [x, j)^] et [x -{- diX^ y -j- d^j\

Au second point \^x -\- d^x^ J^^Uj^ l^*s dérivées de Y par rapport à X seront devenues

— — = /nj-i- ( 7712 -H iH V — ') dyT^ quantité réelle,

— — - = (/na-h /i2 v/— + {rtx^-^ n-i \f^)d^x, »

elles seront encore les mêmes sur les deux lieux, jusqu'à l'ordre p — i ; on démontrerait donc, comme précédemment, que les deux enveloppes auront encore en commun un troisième point

et ainsi de suite jusqu'au (/; -|- i)»*'*"^' point. En résumé, les deux enveloppes auront p -\- 1 points communs infiniment voisins du point [^, J>'], c'est-à-dire auront en ce point un contact de l'ordre p.

Il résulte immédiatement de ces deux théorèmes généraux :

1° Que le rayon de couibure d'une conjuguée quelconque d'un lieu quelconque, au point où cette conjuguée touche l'enveloppe réelle du lieu, est égal au rayon de courbure de cette enveloppe réelle au même point.

En etïet, si l'on a déterminé par le calcul le centre [«, fe] et le rayon R du cercle osculateur à une courbe y(X, Y) = o en l'un de ses points réels [^jj^]» les deux équations

/(X,Y) = o et (X — a)2H-(Y — ^»)2^K2

admettront la solution commune [j^,j] et fourniront en ce point, pour -pr et -y^^ > Jes mêmes valeurs^ les conjuguées des deux courbes réelles qui se toucheront en ce point auront donc aussi entre elles un contact du second ordre, c'est-à-dire auront même rayon de courbure; mais on constate aisément que Tliyperbole équilatère conjuguée d*un cercle a, en son sommet, pour rayon de courbure, le rayon même du cercle.

On en conclut le théorème énoncé.

2** Si la valeur de l'expression

Hiïî

calculée en un point [.x^^JK] ^^ l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu /^(X, Y) = o, est

le rayon de courbure de cette enveloppe en c(^ point [x,j)^] sera

En eflet, si les formules usuelles ont donné, pour les coordonnées du centre du cercle osculateur au point [:r,jr]dc/(X,Y) = o,

a-\-b s/— 1 et a'-f- 6' /— i ,

les deux équations

/(X,Y) = o et

(X - a - 6 /:^)'+ (Y -a'- 6'/^)' = ('^ + ^V^)' admeltront la solution commune [:r, j»] et fourniront,

pour -prr et pour ^^7' it;s mêmes valeurs en ce point ;

mais -j- sera réel, le point [^, J^] étant supposé appartenir à l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu y(X, Y) = o, ce point appartiendra donc aussi à Tenveloppe imaginaire des conjuguées du lieu

c'est-à-dire au cercle

d'ailleurs les enveloppes imaginaires des deux lieux auront entre elles un contact du second ordre au point correspondant à la solution [^,j>]; elles auront donc, en ce point, même rayon de courbure.

On en conclut le théorème énoncé.

Parabole osculauice d'ordre p à une conjuguée quelconque en un quelconque de ses points. — La parabole osculatrice d'ordre p^ à une courbe réelle, en un de ses points [^îJtJî ^^^ représentée par Téquation

•^ dx dx^ 1 . 1 dxP v.i. . .n

Si Ton avait rapporté un lieuy(X, Y) = o à des axes tels, que les abscisses de la conjuguée C de ce lieu devinssent réelles, Téquation en coordonnées imaginaires d'une des branches de cette conjuguée prendrait la forme

Y'=cp(X') + ^(X')v/=^,

X' étant réel \ mais Téquation de cette branche, en coordonnées réelles, serait

(48 ) les dérivées de Y' par rapport à X' étant supposées

égales à

m^ -+■ Hi / — I , .• • '

nip ■+■ /ip >J— I ,

celles de Y', par rapport à X', seraient

mj -h /il,

mp-\- np\

l'équation de la parabole osculatriccî d'ordre /7, à la conjuguée considérée, au point [-^,7^)', ], serait donc, dans le nouveau système d'axes,

1 = Ji-h(mi-+- /11)— î -h (//22-h/i2) — -^ -I-. . .

{mp->r rip)

On obtiendrait donc immédiatement l'équation, dans le nouveau système d'axes, de la parabole cherchée, si

l'on connaissait les dérivées m< + /?^ y/ — i , . . . ,

r)ip-\-npsJ — I de la nouvelle ordonnée y' par rapport

, , 11 u • • j ' • ' ^y dp y'

a la nouvelle abscisse; mais ces dérivées ——.^ • • • ? -~r~

dx dx P

pourront toujours être trouvées en fonction de -7- î • • • ?

-T^y sans qu'on soit obligé d'effectuer la transformation

des coordonnées ; il suffira en effet, pour cela, de dériver jusqu'à l'ordre p les formules de la transformation.

Ainsi, supposons, pour plus de simplicité, que les premiers axes fussent rectangulaires, qu'on ait conservé

rancien axe des x et qu'on ail seulement dirigé l'axe des^' parallèlement aux cordes réelles de la conjuguée en question ; les formules de transformation seront

y' =z -r — 7 et x' = X — rcota',

-^ sina' ^ '

a! désignant Tangle du nouvel axe des j avec Tancien axe des x.

On déduira de ces formules

dy' I dy dx dx* dy , •^ = — ti- et =: I £ cota

dx' sina' dx dx' dx dx '

d'où

dy \ dy I

dx' ~~ sina' dx dy ,

dx

puis

dy^ dx

dx'^ sina' dx dx'

d^ dx

dy ,

I î^cota

dx

sina dx dy ,

1 r-cota ,

dx

et ainsi de suite.

On pourrait donc développer en série, par la formule de Taylor, l'ordonnée réalisée d'une conjuguée quelconque d'un lieu quelconque.

Revenons au rayon de courbure d'une conjuguée quelconque en un quelconque de ses points.

Si le lieu était rapporté à deux axes rectangulaires

dont l'un, celui àesj^ fût parallèle aux cordes réelles de M. 4

la conjuguée considérée, et sî -^ et ^-=^ avaient pour valeurs, en un point de cette conjuguée,

g=m + n/=l et g=p + y/=:F,

les dérivées de l'ordonnée réalisée, par rapport à l'abscisse réelle, auraient en ce point pour valeurs

en sorte que le rayon de courbure serait représenté par

Si le lieu était rapporté à des axes rectangulaires quelconques, les formules de transformation feraient connaître, comme on l'a vu, les quantités cherchées m -+- /i

et p-^-q-

Le calcul fait directement donne, par rapport à des axes rectangulaires quelconques,

(r-r')(G3-3G/i«)4-(rH-r')(3G2n--/i3)'

où c désigne la caractéristique de la conjuguée considérée, r -f- /•' y/ — I la valeur de l'expression

calculée au point considéré, et n le rapport du petit au

(5i ) grand axe de Tellipse évanouissante

qui contient les éléments du lieu au point considéré.

Si le point considéré de la conjuguée c était celui où elle touche l'enveloppe imaginaire, n serait nul et la formule précédente se réduirait à

on peut arriver à ce résultat en partant de la formule donnée plus haut

En y faisant d'abord « = o, puisque le point considéré appartient à l'enveloppe imaginaire, il vient

mais la formule

donnerait toujours pour R la même valeur r-^r' y/ — i , au même point, quels que fussent les axes rectangulaires auxquels le lieu fût rapporté ; on peut donc poser, en supposant les axes rectangulaires, Taxe des^ parallèle aux

cordes réelles de la conjuguée et -— = p-+- q y/ — i, au point considéré, avec -j- = m

(5> ) d'où Ton tîre

et, par suite,

d'où

p-^^== rrrvi '

Théorème. — La développée de V enveloppe imaginaire des conjuguées d^un lieu plan est V enveloppe imaginaire des conjuguées de la développée du lieu.

Cette relation remarquable entre les deux enveloppes se démontre de la manière suivante :

Soient jc = a H- Py/ — i, y = a'-f- P' y/ — i les coordonnées imaginaires d'un point X| = a -h p, j^^ = a!-\- P' de Tenveloppe imaginaire d'un lieu/(X, Y) = o; m la

valeur réelle de -7^ = — -yr en ce point et ^ =C : le

faisceau

ou

Y = mX H- a'-+- P' v/=^— m(a + p y/^)

des tangentes au lieu /(X, Y) = o, au point

se réduira à la seule droite

Y = mX -f- a'— moL h- P'— m^, tangente à Tenveloppe imaginaire au point

d'un autre côté, le faisceau

Y = - -!- X 4- a'-H pV- 1+ - (a + ? /-

ou

se réduira à la seule droite

Y=— i-X-ha'H-p'+-(a + p),

et cette droite sera normale à Tenveloppe imaginaire au point considéré, c'est-à-dire sera tangente à la développée de Tenveloppe imaginaire.

Ainsi

dx

sera l'équation générale en coordonnées imaginaires des tangentes à la développée de l'enveloppe imaginaire; d'un autre côté

dx

oix X el y seraient réels, serait l'équation générale des tangentes à la développée de la courbe réelle.

Mais, dans les deux cas, y-^—r—x sera la même

dx fonction de .r, ou de m, qui dépend de x.

Les deux développées seront donc respectivement les enveloppes de systèmes de droites, tels que

Y = /7iX-i-cp(/7i)dz v/4/(/n) et

Y = mX-f- cp(m) ±. s/— <V(/?i},

( 54 ) c'est-à-dîre que chacune d'elles sera l'enveloppe imaginaire des conjuguées de Vautre.

Quadratures.

10. Une seule intégration suffit aux quadratures du lieu réel et de toutes ses conjuguées. — En effet, d'abord, si les ordonnées de deux branches de la conjuguée à abscisses réelles sont

celles des deux branches correspondantes de la courbe réelle seront

et si Ton a pu obtenir Tintégrale indéfinie

on aura obtenu en même temps l'intégrale

[cp(a7) d= v/ — ^(^) / — i] dx.

Si, en prenant cette dernière entre des limites a et £, on a trouvé pour résultat

A sera l'aire du diamètre correspondant aux cordes réelles de la conjuguée, B sera Taire comprise entre la conjuguée et son diamètre, et A dz B sera l'aire même de cette conjuguée.

Ainsi, si l'on a pu obtenir l'intégrale fydx^ elle fournira la quadrature d'une branche quelconque de la conjuguée à abscisses réelles, et l'on peut remarquer

que Paire de cette conjuguée sera mieux représentée que celle de la courbe réelle, parce que la présence du

signe y/ — i s'opposera à toule confusion entre l'aire du diamètre et Taire de la courbe au-dessus ou au-dessous de son diamètre.

On pourrait obtenir l'aire d'une conjuguée quelconque eu la rapportant au même axe des x et à un nouvel axe des y parallèle aux cordes réelles de cette conjuguée; mais la transformation ne sera jamais nécessaire, parce qu'il suffira d'obtenir Taire indéfinie de la courbe réelle dans le nouveau système et que les aires de cette courbe, dans les deux systèmes, se déduisent aisément Tune de l'autre par Taddition et la soustraction de deux triangles.

Soient

OX, OY (yîg'. 6) les axes rectangulaires auxquels la courbe réelle était d'abord rapportée;

Fig. 6.

Mo M un arc quelconque de cette courbe \

OY' une parallèle aux cordes réelles de la conjuguée

qu'on voudrait quarrer ; MoPq et MP les ordonnées anciennes de Mo et M; MoP'o et MP' leurs ordonnées nouvelles.

Si Ton connaissait l'expression de Taire indéfinie P'^MoMF, on en tirerait Taire indéfinie de la conjuguée considérée, comprise entre Taxe des x, un arc

quelconque de cette conjuguée et les cordes réelles passant par les extrémités de cet arc.

Mais on passe de Taire supposée connue PoMqMP à Taire cherchée P'^jMqMP' en ajoutant à la première Taire du triangle PMP' et en en retranchant celle du triangle PoMoP'o; soient oro.Xo et x'^^y'^ les coordonnées anciennes et nouvelles du point Mo, ooy et afy les coordonnées anciennes et nouvelles du point M, les aires des deux triangles MPP' et MqPoP'o seront

IsinY'Yjy et isinY'Yjori OU

- 1 cosY'X j.y et - i cosY'X j^oj'o ;

mais il conviendra, dans les expressions de ces deux aires, de remplacer les ordonnées nouvelles y ^^y'o par leurs valeurs en fonction de^ et^o • Tune des formules de la transformation intervenue étant

y=ys\nY'X, d'où

-^ sinY'X' on prendra donc, pour expressions des deux triangles,

___ y^ cosY'X __ yl c osY^Ç

•2 sinY'X ^^ 2 sinY'X'

c'est-à-dire

^ et ^,

C désignant la caractéristique de la conjuguée dont les cordes réelles seraient parallèles au nouvel axe des y, " En définitive, on aura identiquement

sinY'X/ r'dx'= ydx

yl - r'

(57) Ainsi la seule intégration, marquée par

J ydx,

fournira les quadratures de toutes les conjuguées du lieu, en sorte que la question, en ce qui concerne ces quadratures, est entièrement résolue.

Il reste une question beaucoup plus importante, au point de vue du Calcul intégral, et qui consiste à obtenir l'interprétation de Tintégrale

y dx

dans tous les cas que peut présenter le choix des limites [•>t'o? JKo] et [j^îjr]- ^^ '^ formule

f jK^^=sinY'X/

fournira cette interprétation dans tous les cas, comme on va le voir.

Mais, cette formule n'ayant été établie, par des considérations géométriques, que dans l'hypothèse particulière où les limites [j'o?\Xo] ^t [x, j^] seraient réelles, il ne sera pas inutile d'en donner une démonstration analytique, qui permette de la considérer comme une véritable identité absolue, applicable à tous les cas.

Soient

X =. mx'-\- ny et y=^p^'-^qy'

les formules d'une transformation linéaire : la première

donne

dx = m dx'-i- n dy' , d'où résulte

S y dx = f{px'-\- qy' ) ( m dx'-\- n dy')

= mpJx'dx'-{- nq jy dy'-^ mqfy'dx'-\- npfx'dy = I mpx'--^- 2 nqy"^-{- mq fy' dx'-\- np J x' dy' ;

en intégrant par parties dans le dernier terme, on le remplacera par

et Ton aura, en définitive,

§y dx — mp - — h nq^^— mpx'y'-^^mq — np)fydx\

Supposons maintenant la transformation

X = ar'-hj^'cosa', y =^'sina',

qui se rapporte au changement d'axes que nous avions en vue, on aura

m = i, /i = cosa', /> = o, </ = sina', et il en résultera

S y dx = { sin a' cos d'y'^ H- sin <x' fy' dx'

ou, en remplaçant j '2 par .^ ,?

fydx=^ -^sin7.'fy'dx\

Comme nous l'avons déjà dit, la question la plus intéressante que présente l'étude d'une intégrale

ydx,

oiij est une fonction implicite, consiste à définir la valeur concrète de cette intégrale, soit en raison des limites, soit en raison de la succession de valeurs qu'auraient prises les deux variables pour passer de leur état initial [j^o» J'o] à leur état final [j^,^""], de façon, non seulement à pouvoir, au besoin, si l'intégration n'avait pas pu être elTectuée, appliquer à l'évaluation de l'intégrale les méthodes de quadratures approchées, par la substitution, à une courbe, de polygones inscrits et

(59) circonscrits, mais encore a lever les difficultés qui pourraient subsister quand même Tintégration aurait pu être effectuée.

Ces difficultés tiennent d'abord à ce que, si les limites sont données seulement en ce qui concerne x^ c'està-dire si Ton ne donne que Xq et or, Jq et jk auront chacune m valeurs, si l'équation entre x et j^ est de degré ni par rapport kj^ en sorte que l'intégrale

aurait toujours au moins m^ valeurs ; mais surtout à ce que l'intégrale indéfinie fjclx^ si elle avait pu être obtenue, pourrait être compliquée par la présence de constantes affectées de coefficients entiers arbitraires, comme on le voit par

= arcsina;,

à l'une quelconque des valeurs de laquelle on peut ajouter un nombre quelconque de fois ait, et par

/dx -

à l'une quelconque des valeurs de laquelle on peut

ajouter un nombre quelconque de fois 2Tcy/ — i.

Ces constantes sont désignées sous le nom de périodes de Vintégrale indéfinie; et les nombres de fois que ces périodes doivent être introduites respectivement dans chaque intégrale définie dépendent du chemin suivi par le point [^, j] pour aller du point [j^oO^o] ^^ point \x,j\

Nous chercherons d'abord à assigner, pour chaque système de limites, la valeur concrète la plus simple de

l'inlégrale définie^ nous définirons et assignerons ensuite les valeurs concrètes des différentes périodes, en même temps que nous déterminerons les nombres qui devront en être pris dans chaque cas.

11 . De la valeur concrète la plus simple d^une intégrale, en raison de ses limites. — Quelles que soient les limites assignées, on pourra toujours les relier Tune à l'autre, et même de plusieurs manières : d'abord par un arc de la conjuguée à laquelle appartiendra la limite inférieure, prolongée jusqu'à son point de contact avec l'une ou avec l'autre des deux enveloppes; par un arc de celte enveloppe, interrompu s'il est nécessaire par un arc d'une conjuguée arbitraire, compris entre deux points coQsécutifs de contact de cette conjuguée avec l'enveloppe en question, dans le cas où l'on aurait à passer d'une branche de cette enveloppe à une autre de ses branches, qui n'aurait aucun point commun avec la première ; par une branche de celle des deux enveloppes sur laquelle serait venu le point mobile, prolongée jusqu'à l'un de ses points de contact avec l'autre enveloppe, si cela était nécessaire; par une branche de celle des deux enveloppes qui toucherait la conjuguée à laquelle appartiendrait la limite supérieure, cette branche étant prolongée jusqu'à son point de contact avec la conjuguée en question; enfin, par l'arc de cette conjuguée qui rejoindrait le point de contact, déterminé précédemment, avec le point représentatif de la limite supérieure.

Le choix de ce chemin assignera la valeur concrète de l'intégrale, en en faisant une somme d'aires connues par ce qui précède, avec les signes sous lesquels il faudrait les introduire, sauf cependant pour le cas, que nous allons examiner à part, du parcours d'un arc de l'enveloppe imaginaire.

Evaluation concrète de l 'intégrale fj dx prise le long d^un arc de l^ enveloppe imaginaire. — Soient

+ Pv/-i, r = «'-+-pV-i

les coordonnées imaginaires d'un point quelconque de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu : un élément de l'intégrale prise le long de cette enveloppe sera

(a'H- p' ^^^^) {da -h d^ s/~)

ou

la valeur totale de Tintégrale s'exprimera donc par

Considérons en même temps la branche de Tenveloppe imaginaire qui contiendrait les points imaginaires conjugués de ceux de la première, les coordonnées imaginaires d'un de ses points seront

= a-Pv/-i., y = a'-^'s/^i,

et l'un des éléments de l'intégrale fj dx^ prise le long de cette seconde branche, serait

ou

(a' p' y/ZTY) (^a - d^ s/— i) a'^a — [i'^p — (P'rfa — a! d^) v/=7

de sorte que la valeur totale de l'intégrale, prise le long de la seconde branche, s'exprimera par

Mais les coordonnées réelles d'un point du premier arc de l'enveloppe seraient a + ^ et a'+ p\ et celles

du point correspondant du second arc seraient a — p et a' — ^', de sorte que les aires comprises entre les deux arcs, Taxe des x et les ordonnées des extrémités de ces arcs, seraient

S=/(a'-+-p')(û^-^^P) = (Sa'rfa-t-2p'rfp)-h(2p'rfa-i-Sa'é/p)

et

ces deux équations donnent, par addition et par soustraction,

et

d*un autre côté, si l'on appelle S\ Taire du lieu des

points milieux des cordes joignant les points imaginaires

conjugués des deux arcs de Tenveloppe, c'est-à-dire si

l'on pose

Si= 2a'û?a, on aura

L'intégrale 1= l y dx^ prise le long du premier arc, aura donc pour valeur

quant à celle qui correspondrait au parcours du second arc, elle sera

Ainsi, dans tous les cas, quelles que soient les limites et

quel que soît le nombre des ares à emprunter aux deux enveloppes et aux conjuguées pour rejoindre ces deux limites, les m^ valeurs de Tintégrale

/x.y ydx

s'exprimeront toujours par des sommes d'aires connues; et l'une quelconque de ces aires pourra être obtenue par les formules ordinaires de quadrature approchée, parce que, sachant mener les tangentes aux deux enveloppes et aux conjuguées, on pourra toujours comprendre chaque aire à évaluer entre les aires de deux figures polygonales : Tune inscrite, Tautre circonscrite à l'arc correspondant du lieu.

En résumé, les m^ valeurs de la quadratrice

\ ydx

d'un lieu y(a:, jk) = o, de degré m, pourront toujours recevoir des définitions nettes du choix de chemins, empruntés tant aux conjuguées qu'aux deux enveloppes, et propres à rejoindre les m limites inférieures de l'intégrale à ses m limites supérieures.

A la vérité, le chemin à suivre pour relier l'une des limites inférieures à l'une des limites supérieures pourrait être modifié de bien des manières différentes.

Mais toutes les intégrales qui auront le même système de limites ne pourront différer les unes des autres que par des constantes, parce qu'elles auront la même différentielle.

12. Tliéorème de V indépendance de la valeur d'une intégrale fydx envers le chemin suiv^i pour en rejoindre les deux limites, — La théorie précédente pour-

raitse suffire à elle-mêine; cependant elle sera utilement complétée par un théorème dû à Cauchy, au moyen duquel on fera disparaître ce qu'il y a en apparence d'ar- 1 bitraire dans le choix exclusif des chemins définis plus haut. Ce ihéorème, d^ailleurs, nous permettra d'obtenir Tinfinie multitude des formes géométriques des aires propres à représenter les périodes d'une intégrale. '

Ce théorème peut s'énoncer de la manière suivante : Un chemin cp(a, p, a', P') = o, propre à rejoindre les deux limites d^une intégrale, et qui ne passe par aucun point du lieu considéré f{xj y) = o^ où la fonction y ou ses dérivées deviennent infinies, à partir d'un certain ordre, peut être modifié infiniment peu, puis insensiblement d'une manière appréciable, sans qu'il en résulte aucun changement dans la valeur de l'intégrale fy dx^ les limites restant les mêmes, pourvu que, durant sa déformation continue, ce chemin ne passe jamais par un seul point du lieu oxxy ou ses dérivées deviennent infinies à partir d'un certain ordre.

On peut établir ce théorème de la manière suivante : Considérons seulement un élément de l'intégrale fy dx ; si Ton représente la fonction y par

F(^) = F(a-up/~~i), ■ on pourra indifféremment remplacer cet élément par

F(a -f- p \r^\)d% H- F(a -h û?a -h p \/~\) d^ y^^ ou par

F(a 4- p /~i) d^ >/—i H- F(a, p /^Tj ^ d^ y/IT",) da,

c'est-à-dire, qu'au lieu de faire croître en même temps a et p, pour obéir à la loi cp(a, [3, a', j3') = o, on pourra les faire croître successivement dans l'un ou l'autre

( 65 ) oj'dre, (Je façon à iiioditit'r l'éléuienl du clieinîu assigné cp(a, p, a', P') = o, et à le changer indiiï'éremnient, comme Tindique Ja figure, de AB en AGB ou en AC'B,

et

; mais à la condition que

puissent se confondre respectivement avec

c'est-à-dire, connne

F ( a + rfa + p /^ ) = F ( a -h p /^ ) h F ' ( a H- ^ s/—\ ) ^a

et

F(aH-p/^ 4-t/fi v/^)

= F(a -f- p /~i) -h F'(a + ^ /^) ^p sl—x ,

à la condition que F'(a-|-py/ — i) ne soit pas infini,

sans quoi F'(a-f-P^ — i)rfa, ni F'(a + py/^)é/^y/— i ne pourraient plus être négligés.

On pourrait, sous des conditions analogues, modifier de même tous les éléments de l'intégrale, les uns dans un sens, les autres dans l'autre ; et recommencer indéfiniment, tant que le nouveau chemin ne contiendrait aucun des points où la fonction ou ses dérivées deviendraient infinies.

Nous énonçons ainsi les conditions k remplir par le chemin mobile : d'abord parce que, ûy devenait infini, sa dérivée le deviendrait aussi; en second lieu, parce que pour pouvoir de nouveau isoler, dans le nouveau rfx, le nouveau d(j. du nouveau û?P, et les faire passer Tun avant Tautre, dans Tun ou l'autre ordre, il fau- M. 5

[ <i(i ) Jrait que

ou

= F'(a -h p /=~i) -f- F"(a -h ? /=^) d^ /^ se réduisissent l'un el Tautre à

e'esL-à-dire que r"(a+ ^ y/ — i) ne fût pas intini , et ainsi de suite.

Ainsi, deux chemins terminés aux mêmes extrémités pourront se substituer Tun à l'autre, si le premier peut se transformer insensiblement dans le second, sans que, dans ses formes intermédiaires, il passe jamais par un point où la fonction ou ses dérivées, à partir d'un certain ordre, deviendraient infinies.

Le théorème peut s'énoncer d'une autre manière^ En

elïet, si les valeurs de fy rfx, prises le long des chemins AMB {Jig- 7) et AM'B, sont égales, la valeur de cette intégrale, prise le long du chemin fermé A MB M'A, sera nulle; en sorte que Ton peut dire qu'une intégrale fjdx^ prise le long d'un chemin fermé, est identiquement nulle, lorsque ce chemin fermé peut se réduire à un point unique, sans que, dans ses transformations successives, il passe jamais par un point où la fonction j^

(67 ) OU ses dérivées deviendraient iiiiiuies à partir d'un certain ordre.

On remarquera que Tuu ou l'autre théorème n'a d'autre objet que de compléter la notion originelle d'une intégrale; car il est bien évident que, si une intégrale J y dx pouvait, les limites restant les mêmes, varier d'une manière continue avec le chemin qui relierait ces deux limites, cette intégrale, dès lors, n'aurait pas de sens.

Mais on comprend parfaitement que, de loin en loin, Tinlégrale puisse s'accroître de quantités finies, lorsque le chemin se déforme assez considérablement; quant à ces quantités finies, elles ne peuvent être que des constantes, par la raison, que nous avons déjà dite, que l'in-

tégrale

y dx,

prise entre les mêmes limites, conserve toujours la même dérivée, qui est la valeur de la fonction à la limite supérieure de l'intégrale.

On peut présenter le théorème de Cauchy d'une façon plus avantageuse : Si Ton établit entre les variables a, P, a' et p', une relation arbitraire

cette relation, jointe aux deux dans lesquelles se décompose

fera de chacune des quatre variables une fonction de celle que l'on voudra des trois autres^ d'un autre côté, l'intégrale

/7 6f^ = /(a'+P'v/=:,)(^a-Ht/?v/-i)

(68.) se décomposera en (|ualt-e autres

dans chacune desquelles on pourra considérer la variable (inie comme une fonclion de la variable dont la ditïerentielle entre sous le même signe d'intégration; or il tîst facile de comprendre comment chacune des quatre intégrales pourrait n'acquérir qu'une valeur finale nulle, quand même la variable x serait revenue a sa valeur initiale, sans avoir repassé par la même série de valeurs.

Supposons, par exemple, que, au lieu d'une relation C5(a, p, a', P') = G, entre les quatre variables, on en ait choisi une <p(a, (3) = o, entre a et p seulement, figurée par la courbe AB (,/?^'. ^).

Fig. 8.

Il en résultera, entre a' et a, par exemple, une relation correspondante, figurée par une courbe telle que

Soient M et M' deux points correspondants de ces deux courbes, c'est-à-dire ayant la même abscisse a : dans l'hypothèse de la figure, /a'rfa sera identiquement nulle, parce que, tandis que le point [a, p] fera le tour de la courbe A MB, c'est-à-dire tandis que a variera de sa valeur minimum a^ à sa valeur maximum ai et reviendra de a< à a^, le point [a', a] ne pourra décrire, sur A'A, que l'arc NoNi, dont les extrémités auraient

(69) pour abscisses olq et ai, et ensuite Tare N^Nq, de façon (jue Taire engendrée dans Taller serait détruite dans le retour.

Pour que Taire JoidcL ne fût pas nulle, il faudrait que le point [a', a] eût pu passer sur une autre branche de A' A que celle où se trouvait Je point de départ, comme dans le cas de la Jig, lo, où le point [a', a] aurait parcouru le chemin Nq AN^ dans Taller et le chemin N , AJNJ,

dans le retour; c'est-à-dire qu'il faudrait que -j- fût

devenu infini dans l'intervalle de a^ à a^ .

Il en serait de même des trois autres intégrales : on arrive ainsi à une nouvelle expression de la condition pour qu'on puisse substituer un chemin à un autre, sans que l'intégrale change : au lieu de dire que, dans ses formes intermédiaires, le chemin ne doit passer par

aucun point où -^ devienne infini, on peut dire que le

Fig. 10.

■^ 1 *^**^fc

chemin variable doit rester tel que ~t~ ^ ~^~ "> '-içr ^^^ -^ n<^ deviennent infinis.

Il est aussi très aisé, dans cette nouvelle conception, de se rendre compte des conditions dans lesquelles Tintégrale fydx peut s'accroître de quantités constantes dans un parcours fermé par rapport à x, c'est-à-dire lorsque a et ^ reviennent à leurs valeurs initiales, sans repasser par la même suite de valeurs.

Reprenons Texemple de rinlégrale /a'r/a, et supposons que la courbe, dont les coordonnées sont ol' et a,

Fis- •!

présente un anneau fermé compris entre les valeurs extrêmes ao et a, de a, comme l'indique W fig. \ i .

Si Ton fait partir a de la valeur de l'abscisse du point Mq, qu'on le fasse croître jusqu'à sa valeur extrême a|, abscisse de N^, qu'on le fasse ensuite décroître de a^ à Tabscisse du point Mq ou du point Mi, mais qu'on suppose que, durant ces variations de a, le point [a', a] ait parcouru le chemin Mo AN^ AIVI< , l'intégrale fa! d^ aura pris la valeur de l'aire JMoAM^.

Cette aire dépendra de la valeur initiale de l'abscisse du point de départ, Mq ; mais aussi c/! ne sera pas revenu à sa valeur initiale, l'ordonnée de Mq.

Au contraire, si l'on faisait revenir a à sa valeur initiale, l'abscisse de Mq, en supposant que, après être arrivé à sa valeur extrême supérieure a^ , il fut revenu à sa valeur extrême inférieure ao, pour reprendre ensuite sa valeur initiale, l'abscisse de Mo, et que, durant ce parcours, le point [a', a] eût décrit les arcs Mo A, ANo N^A, AM,A', A'No, No A', A'M», l'intégrale J^d'x aurait cru de l'aire comprise dans le contour A'MoAM^A^, indépendante de la position du point de départ Mq.

D'où l'on voitquel'intégrale/j^^x nepeut s'accroitre d'une constante, dans un parrours fermé par rapport n

la variable x^ qu'autant que la fonction y revient ellemême «à sa valeur initiale, en môme temps que la variable X.