DES PÉRIODES DES INTÉGRALES
13. Tous les parcours se ramenant les uns aux autres, nous pouvions donc réduire les chemins à considérer à des chemins composés d'arcs des deux enveloppes et d'arcs de conjuguées; d'un autre côté, comme l'intégrale fjdx ne peut s'accroître de constantes que dans des chemins fermés, à \^ fois par rapport à la variable et à la fonction, nous rechercherons les périodes d'une intégrale dans les parcours d'anneaux fermés de la courbe réelle, de l'enveloppe imaginaire et des conjuguées.
Des périodes engendrées dans le parcours d'anneaux fermés de la courbe réelle. — Si la courbe réelle représentée par l'équation f(^x,j) = o du lieu considéré comprend quelques anneaux fermés, tels que AMBM'A {Jlg- 12), l'intégrale quadratrice de ce lieu,
Fi g. 12.
fydx^ admettra évidemment pour périodes les aires <Mi fermées respectivement dans ces différents anneaux fermés.
En effet, si le point [j^, j] parcourt un nombre quelconque de fois le chemin AMBM'A, l'inlégrale fydx, durant le trajet AMB, s'augmentera do l'aire du dia-
( tO
mètre ANB, conjugué des cordes de i'aiineau parallèles à Taxe des j", et de Taire A MBNA comprise entre le demi-anneau supérieur et le diamètre, tandis que, dans le chemin BM'A, elle s'augmentera de l'aire, prise avec le signe — , du même diamètre et de Taire BM'ANB, prise positivement, comprise entre la branche inférieure de Tanneau et le diamètre, aire d'ailleurs égale à la première, de sorte que, à la fin du parcours, Taire engendrée sera celle comprise dans Tanneau A MB M'A.
Mais le parcours de la courbe réelle pourra donner lieu à la formation d'autres périodes qu'on n'apercevait pas tout d'abord et sur lesquelles nous reviendrons après avoir traité des périodes imaginaires engendrées dans le parcours des anneaux fermés de conjuguées.
Des périodes engendrées dans les parcours des an-
neaux fermés de conjuguées. — Le produit par ^ — i de Taire enfermée dans l'intérieur d'un anneau fermé d'une conjuguée quelconque d'un lieuy(X, Y) = o est Tune des périodes de la quadratrice fXdJL de ce lieu. En effet, soient AB, A'B' {fig. i3) deux branches de la
Fig. i3.
courbe réelle comprenant entre elles une série de conjuguées fermées, telles que EMFM'E; soit ENF le lieu
(73) des milieux des cordes réelles de cette conjuguée parallèles aux deux tangentes EG, FG' à la courbe réelle : l'intégrale fjdx prise le long du chemin EMP se composera, d'après une des propositions qui précèdent :
De Taire GENFG'G du diamètre ENF rapporté à Tancien axe des X et à une parallèle aux cordes réelles de la conjuguée;
De l'aire réelle du triangle G'FQ, diminuée de Taire aussi réelle du triangle GEP;
Enfin, de Taire EMFNE, comprise entre la demiconjuguée et son diamètre, cette aire étant aiïectée du
signe -h y/— I .
Mais si, arrivé en F, le point décrivant [»r, j ] parcourt ensuite la brandie inférieure FM'E de la conjuguée, dans ce nouveau parcours, Tintégrale yy é/x s*accroitra :
De Taire FNEGG'F égale et de signe contraire à GENFG'G;
De Taire réelle du triangle GEP diminuée de Taire aussi réelle du triangle G'FQ, lesquelles détruiront les aires des mêmes triangles, engendrées d'abord avec des signes contraires^
Enfin, de Taire F'M'ENF égale à EMFNE et engendrée avec le même signe -f- y/ — i .
En sorte que, dans le parcours entier du contour EMFM'E,^ Tintégrale Jydx s'accroîtra seulement du produit par ±\/ — i de Taire enfermée dans
Tanneau de la conjuguée, \j — i devant être affecté du signe -t- ou du signe — , suivant que le sens du mouvement aura été EMFIVTE ou EM'FME.
Extension du second théorème d'Apollonius
Tza' b' sinO = 7ra6,
relatif aux coniques, aux courbes algébriques de tous les degrés, — Ce second théorème d'Apollonius, en ce qui concerne Tellipse, ne constitue qu'un fait évident, puisqu'il signi6e simplement que l'aire d'une ellipse reste la même, soit qu'on la rapporte à ses axes ou à deux de ses diamètres conjugués.
Mais, appliqué à l'hyperbole, ce même théorème signifie que toutes les ellipses conjuguées d'une même hyperbole ont même aire.
. C'est ce théorème que nous allons étendre aux courbes algébriques de tous les degrés^ il consiste en ce que les conjuguées fermées d'un même lieu, comprises entre les mêmes branches de la courbe réelle, ont toutes même aire.
Ce théorème est pour ainsi dire évident; car, dans l'hypothèse contraire, l'intégrale fydx aurait une infiuité de périodes imaginaires, c'est-à-dire serait complètement indéterminée.
Mais le théorème de Cauchy en fournira une démonstration directe :
Soient AMENA et A'M'B'N'A' {fig. 14) deux demiconjuguées voisines, comprises entre les mêmes branches AA', BB' de la courbe réelle : les valeurs de l'intégrale fy dx prises d'abord le long du chemin AMB, ensuite le long du chemin AA'M'B'B seront égales, d'après le théorème de Cauchy; les parties imaginaires de ces deux valeurs seront donc les mêmes. Mais la seule partie imaginaire de la première somme sera l'aire AMBNA comprise entre la première demi-conjuguée et le diamètre ANB, lieu des milieux de ses cordes
( 75 ) réelles^ de même dans la seconde somme, la seule partie imaginaire sera Taire A'M'B'N'A' comprise entre la
Fig. 14.
seconde demi-conjuguée ef le diamètre A'iN'B', lieu des milieux de ses cordes réelles^ donc les demi-aires des deux conjuguées seront égales.
Noui^elle généralisation du même théorème. — Non seulement toutes les conjuguées fermées comprises entre les mêmes branches de la courbe réelle ont même aire, mais encore si l'on rejoignait deux points quelconques C et D {Jig' 1 5 ) de ces deux branches par* un chemin
quelconque CMD, et qu'on le fermât par le lieu DM'C des points imaginaires conjugués de ceux qui çonsti-
tueraient CIVID, Taire CMDM'C serait encore égale à celle d'une quelconque des conjuguées. En effet, si l'on se reporte à ce qui a été dit de la valeur de l'intégrale fy dx prise le long d'un arc de l'enveloppe imaginaire, mais qui conviendrait également à la valeur de la même intégrale prise le long d'un chemin quelconque, en appliquant les formules, trouvées alors, aux deux arcs CMD et CM'D. On aura
S-t-S' S-S' / — I = tiSi 1 yj — I
et
,, o s H- S' s — S' /— I = 2 Si y — I ,
S| désignant l'aire du lieu CND des milieux des cordes joignant les points imaginaires conjugués des deux arcs CMD et CM'D, S et S' les aires des segments correspondant aux arcs CMD et CM'D.
Mais l'intégrale prise le long de DM' G étant égale et de signe contraire à l'intégrale prise le long de CM'D, l'intégrale le long de CMDM'C sera la différence entre
I et r ou (S — S') y/ — I , c'est-à-dire le produit par y/ — i de l'aire enveloppée par l'anneau CMDM'C.
D'un autre côté, le chemin CMDM'G pouvant être considéré comme une déformation du chemin constitué par une conjuguée fermée, les intégrales prises le long de l'un et l'autre seront égales ^ donc le contour CMD M' C, constitué comme on l'a dit, enveloppera une aire égale à celle d'un anneau fermé de conjuguée compris entre les mêmes branches de la courbe réelle.
Si les deux parties CMD et CM'D n'étaient plus formées de points imaginaires conjugués deux à deux, l'intégrale prise le long de CMDM'C n'en resterait pas moins l'une des périodes de f y dx^ mais elle n'aurait
plus une représentation géométrique simple parce que S| n'aurait pas la même valeur dans I et dans F, et que, d'ailleurs, les aires S et S' qui entrent dans I ne seraient plus les mêmes que celles qui entrent dans F.
Des périodes engendrées dans le parcours des anneaux fermés de V enveloppe imaginaire des conjuguées, — Tl pourra se présenter trois cas distincts : le premier où l'un des anneaux fermés étant constitué par
des points [x = a -h ^ y/ — i , j^ = a'H- P' y/ — i], les points imaginaires conjugués de ceux qui constituent
le premier, [a: = a — p \j — i ^y z=z a' — ^' y/ — i] , formeraient un autre anneau fermé, séparé du premier. C'est ce qui arrive dans le lieu
X [(a? - a + 6 sT^iY-^- (y -a' -h b' /="i)'- (r - r' \/^)]'
où l'enveloppe imaginaire présente les deux anneaux fermés, conjugués, représentés en coordonnées réelles par les équations
et
(x — a- 6)2h-(jk — «'— 6')2=(r-4-r')2 (ce — a -h b)^-^ (y — a'-h b')^ = (r — r')^.
Il pourra arriver aussi que l'enveloppe imaginaire, fermée, se compose de points imaginaires conjugués deux à deux, mais de telle façon que cette enveloppe ne touchant pas la courbe réelle, qui pourra d'ailleurs ne pas exister, les deux suites de points imaginaires conjugués, qui constitueront cette enveloppe, ne se rejoindront jamais, de sorte que le premier point de la première partie de l'enveloppe coïnciderait avec le dernier point de la seconde partie et le dernier point de la première avec le premier de la seconde. C'est ce qui
arrive, par exemple, dans le eas Je l'ellipse iinagiuaite
Enfin, si les deux parties de Panneau considéré, de l'enveloppe imaginaire, se rejoignaient sur la courbe réelle en deux points d'iuHexion de cette courbe, les points imaginaires conjugués, qui constitueraient l'anneau de l'enveloppe, se rejoindraient aux deux points d'inflexion.
Dans le premier cas, les valeurs de l'intégrale fy r/x, prise successivement le long des deux anneaux considérés, seraient représentées par
et par
S<, s et S' ayant les valeurs définies plus haut. Ainsi, par exemple, dans le cas du lieu
le lieu des points milieux des cordes joignant les points imaginaires conjugués des enveloppes des deux lieux
(a:-a-b sf^vY^^y - a'- b' /=:;)' = (r + r' sf^if
et
(^__ a 4- 6 /^)'-i- (jK — «'-+- b' /^)^= (r - r' y/^^if sera, comme on l'a vu, la circonférence du cercle
( 79) de sorle que S| aura pour valeur
7rr2;
d'un autre côté, les deux enveloppes ayant pour équations, en coordonnées réelles,
(x — a — by-hiy — a'—b')^ = (r -f- r'Y et
{x — a-^bY-^{y — a' -h b'y ={r — r'f,
S aura pour valeur 7r(/* -f- /')-, et S' aura pour valeur Tz{r — r'Y.
La formule
I = 2 Si 1 i/— I
donnera donc, pour valeur de la période de l'intégrale fjdx^ relative au premier lieu,
T-Tir^— \Tz[{r -^ r'y-\-{r — r'f]
comme on devait s'y attendre. La période, dans ce cas et tous les autres analogues, sera en partie réelle et en partie imaginaire.
Dans le second cas, les deux parties de l'enveloppe imaginaire, qui contiendront les points imaginaires conjugués deux à deux, se faisant suite l'une à l'autre, de manière que le dernier point de l'un des deux arcs coïncide avec le premier point de l'autre, l'intégrale fydx^ prise le long de l'anneau formé par l'enveloppe, aura pour valeur la somme des deux intégrales I et T; c'està-dire
4Si-(S + S').
La période sera donc réelle et égale à l'aire de l'an-
( Bo) iieau diminuée Je quatre fois l'aire du segment correspondant au lieu des milieux des cordes joignant deux à deux les points imaginaires conjugués de Tanneau de Tenveloppe.
Toutefois, il pourra, je crois, arriver que le lieu des milieux des cordes réelles en question, ne présentant qu'un seul arc, dans l'intérieur de l'anneau de l'enveloppe, et cet arc devant être parcouru deux fois, en sens contraires, lors des formations des deux intégrales I et r, les aires 281 et — aS<, que devraient contenir I et r, disparaîtraient de la somme 1+ V.
Dans le cas de l'ellipse imaginaire — 5 -H'?^ +1 = o?
S^ est nul de lui-même, parce que toutes les cordes réelles de l'enveloppe imaginaire ont leurs milieux à l'origine, et il reste seulement, pour I+T, l'aire de
Tellipse réelle — + "^ — 1 = 0, homotliétique à l'ellipse
imaginaire.
Dans le dernier cas, l'intégrale rentrera dans le cas général d'une intégrale, prise le long d'un chemin fermé composé de points imaginaires conjugués deux à deux, qui se rejoindraient sur la courbe réelle : celte intégrale
aura, comme on l'a vu, pour valeur le produit par ^ — i de l'aire enfermée dans l'anneau de l'enveloppe imaginaire.
14. De la manière la plus générale dont s'engen^ drent les périodes correspondant aux parcours des anneaux fermés de Vune des deux em^eloppes, — Il n'est pas nécessaire que le point décrivant [a:, y] passe même une seule fois sur l'un de ces anneaux, pour que s'engendre la période qui correspondrait à son parcours. En efiet, soit AMENA {Jig- 16) l'un de ces anneaux : supposons que les deux limites [^o? J o]? [«^î J^] ^^ Tinté-
grale fy dx appartiennent à deux conjuguées CD, CD', tangentes en D et D' à Panneau AMENA, et représentent les points C et C des deux conjuguées : l'intégrale fy dx^ à la différence près des expressions algébriques des aires des triangles introduits par les changements de direction de Taxe desj^ en C, D, D' et C, se composera de Taire, en partie réelle et en partie imaginaire, du segment de la conjuguée CD, compris entre Tare CD, Taxe des x et les cordes réelles de la conjuguée CD,
Fiîr. i6.
menées en C et en D ^ de la valeur de l'intégrale fy dx^ prise le long de Tare DD' de l'enveloppe ; eniSn, de Taire, en partie réelle et en partie imaginaire, du segment de la conjuguée D'C, compris entre Tare D'C, Taxe des a: et les cordes réelles de la conjuguée D'C, menées en D' et C.
Si, la limite inférieure [xo,^o] restant fixe, la limite supérieure [j^, J^] se transportait de C en C" sur la conjuguée C"D'', la première partie de Tintégrale resterait lixe, la seconde s'accroîtrait de la valeur de Tintégrale fydx^ prise le long de Tare D'D"de Tanneau considéré de l'enveloppe, enfin la troisième varierait en raison de la substitution de Tare D'^C à Tare D'C.
Supposons maintenant que, la limite supérieure continuant à se mouvoir dans le même sens, le point 1^ s'avance sur Tare DND'D^'BMAD, de façon à rejoindre
à la fin le point D, en même temps que le point C" re- M. 6
viendrait au point C, raccroîssetnent total de l'intégrale fydx se réduira à la valeur de Tintégrale prise le long de Tanneau DNBMAD de l'enveloppe.
C'est de cette façon, en général, que s'engendrent les périodes relatives aux parcours des anneaux fermés des deux enveloppes.
Au reste, le multiple, sous lequel chaque période devra entrer dans la valeur de l'intégrale, sera marqué par le nombre de fois que la limite supérieure aura passé successivement et dans le même ordre sur toutes les conjuguées tangentes à l'anneau correspondant.
15. De la manière la plus générale dont s* engendrent les périodes correspondant aux parcours des anneaux fermés des conjuguées, — Nous avons vu que le
produit par y/ — i de Taire enfermée dans un anneau, composé de points imaginaires conjugués deux à deux, qui se rejoignent sur les deux branches de la courbe réelle entre lesquelles sont comprises des conjuguées fermées d'une même catégorie, constitue une période égale à celle qui s'engendrerait dans le parcours d'une de ces conjuguées fermées; mais, comme nous l'avons également remarqué, il n'est pas nécessaire, pour que la même période s'engendre, que les deux arcs de l'anneau fermé, qui ont leurs extrémités sur les deux branches de la courbe réelle, soient composés de points imaginaires conjugués deux à deux. En effet, si AMENA {Jig. 17) est tel que les points de AMB et de ANB soient deux à deux imaginaires conjugués, on pourra toujours, d'après le théorème de Cauchy, substituer au chemin BNA, par exemple, un autre chemin voisin BN'A, ce qui n'altérera pas l'intégrale, et le chemin AMBN'A ne sera plus composé de points imaginaires conjugués deux à deux ; la valeur de l'intégrale, le long de ce nouveau parcours
(83) AMBN'A, n'en restera pas moins égale au produit par y/ — I de Taire entourée par une des conjuguées fermées 5
toute la différence sera que cette valeur de l'intégrale n'aura plus une relation simple avec les aires des segments correspondants aux arcs AMB et AN'B.
C'est ainsi, généralement, que s'engendrent les périodes qui représentent les produits par y/ — 1 des aires enveloppées par les anneaux fermés de conjuguées.
Quant au multiple entier, sous lequel chacune des périodes de ce genre devrait entrer dans la valeur de
Fig. 18.
l'intégrale, il se comptera par le nombre de fois que le chemin suivi par le point mobile [x, y] aura successivement touché les deux branches de la courbe réelle, sans rebroussement ; car, si le chemin ne se fermait pas, comme dans le parcours A MB N'A' (fig- 18), la période imaginaire n'en serait pas moins complète, puisqu'en fermant le parcours, par l'addition du chemin A' A, on n'ajouterait rien à la partie imaginaire de l'intégrale.
16. Sur une forme géométrique singulière que peu vent affecter les périodes engendrées dans le parcours d\ine des enveloppes, — Chacune des périodes imaginaires, engendrées dans le parcours des conjuguées, a toujours une inanité de représentations géométriques, sous la forme des aires des anneaux fermés de ces conjuguées ; tandis que les périodes, engendrées dans le parcours de Tune ou l'autre enveloppe, n'en ont jamais qu'une chacune; d'où il résulte que les premières sont toujours beaucoup mieux représentées que les autres.
Parmi les formes géométriques des périodes de la première espèce, il s'en trouve toujours de singulières : ce sont celles des anneaux qui dégénèrent en branches infinies, lorsqu'on fait tendre la caractéristique de la conjuguée vers le coefficient angulaire de l'une des asymptotes aux branches de la courbe réelle qui comprennent entre elles les anneaux de ces conjuguées.
On pourrait toujours éviter la considération d'une conjuguée ainsi déformée, puisqu'on aurait à sa disposition une infinité d'autres anneaux fermés se prêtant beaucoup mieux, par exemple, à une quadrature approchée.
Il n'en sera naturellement plus de même si c'est l'une des périodes engendrées dans le parcours de Tune ou l'autre enveloppe, qui se présente sous une forme géométrique singulière, puisqu'il n'en existera pas d'autre représentation. Il importe donc de pouvoir reconnaître ces périodes sous leur figure exceptionnelle.
Mais nous donnerons d'abord un exemple de ce qui
^ qui
donne l'aire de la courbe y = -y figurée en
/iF^ — I
ABA'B'A''B"A'''B'''; cette courbe est du quatrième degré, si on lui mène deux tangentes parallèles en M et en M',
une droite quelconque parallèle à ces deux tangentes et comprise entre elles, ne coupera la courbe réelle qu'en deux points; il se trouvera donc, entre ces deux tangentes, un anneau fermé de la conjuguée, dont la caractéristique serait le coefficient angulaire des deux tan-
gentes. Le produit par y/ — i de l'aire, enfermée dans cet anneau MN M' N', sera une période de l'intégrale.
L'anneau MNM'N' s'allongerait indéfiniment si la direction commune des deux tangentes tendait à devenir parallèle à l'axe des j/* et, à la limite, cet anneau dégénérerait dans la courbe à branches infinies CDEE'D'C, dont l'équation en coordonnées réelles
serait
de sorte que l'aire M N M' N' se transformerait dans Taire égale, comprise entre les deux branches CDE, C'D'E' et leurs asymptotes CC et DD'.
les
limites étant supposées les mêmes de part et d'autre, les deux intégrales auront les mêmes valeurs, au facteur
y/ — 1 près; si la période de la première est le produit
par \J — I de l'aire CDEE'D'C, celle de l'autre sera égale à cette même aire considérée comme réelle.
Mais la période imaginaire de la première intégrale aura une infinité de représentations géométriques, tandis que la période réelle de la seconde n'en a qu'une, exceptionnelle.
L'intégrale / -jz==- est arcsinx, dont la période
est 211; et itz représente Taire CDEE'D'C ou celle qu'enveloppe l'anneau MNM'N'N.
17. Condition pour que l'aire comprise entre une branche de courbe et son asymptote soit finie. — Les considérations précédentes nous amènent à rechercher la condition pour que l'aire comprise entre une courbe et son asymptote soit finie.
Supposons qu'on ait pris l'asymptote pour axe des y; l'équation de la courbe, supposée résolue par rapport à y^ sera
o{x) ne devenant ni nul ni infini pour x =. o. L'intégrale quadratrice de la courbe sera
^{x) dx
et l'aire de la courbe, comprise entre cette courbe et son asymptote, sera
^^{x)dx
e étant aussi petit qu'on le voudra.
cp(a:) ne variera qu'infiniment peu de o à £ : on pourra
( 87 ) donc le remplacer par cp(o) = A, par exemple; riiiiégrale se réduira aiasi à
Si I — a est positif, ou si a est moindre que i , Tintégrale aura pour valeur
et restera finie, tandis que si i — a est négatif, ou si a est plus grand que i, l'intégrale acquerra une valeur
et croîtra indéfiniment.
On sait du reste, par l'exemple de l'hyperbole du second degré, que, si a = i, Finlégrale prendra une valeur infinie.
La condition pour que l'aire reste finie est donc
C'est ce qui arrive pour chacune des asymptotes des deux courbes, conjuguées Tune de l'autre,
7= y et r= /— ■'
La condition peut s'exprimer sous une forme préférable : elle signifie que
doit tendre vers o pour a: = o.
Mais x^ dans ce qui précède, représente la distance
( 88) d'un point de la courbe à Tasymplote et ^-^ représente
Tordonnée de la courbe; or, si Ton fait intervenir un changement d'axes, la distance d'un point de la courbe à son asymptote changera simplement d'expression, et quant à Tordonnée, restée infinie, du point de la courbe, elle sera simplement multipliée par un rapport de sinus, de sorte que si, dans un système d'axes, le produit de l'ordonnée, devenue infinie, d'un point d'une branche indéfinie d'une courbe, par la distance, évanouissante, d'un point de cette branche à son asymptote, tend vers zéro ou croît indéfiniment, il en sera de même dans tout autre système d'axes.
On pourrait donc, les axes étant quelconques et l'équation de l'asymptote à la branche de courbe considérée étant y — ex — d=o, se borner à évaluer la limite vers laquelle tendrait le produit
yiy — cx — d),
lorsque x croîtrait indéfiniment : l'aire comprise entre la courbe et son asymptote serait finie ou infinie, selon que la limite trouvée serait nulle ou infinie.
Mais, lorsqu'il s'agit d'unie courbe algébrique, la condition peut recevoir une expression géométrique très simple et dont l'existence sera toujours facile à vérifier.
L'équation d'une courbe algébrique ayant pour asymptote l'axe des y est de la forme
il s'agit d'exprimer la condition pour que le produit de X tendant vers zéro par y devenu infini tende vers
zéro. Posons xy = z, d'où y =: - 9 la relation entre z
(89) et X sera
Cette équation, pour or = o, a toujours au moins (m — 2) racines nulles, qui sont les produits des (/n — 2) valeurs finies de y par x devenu nul:, la dernière est c. Ainsi, pour que le produit de a: = o par j/=zco soit nul, il faut que c = o, c'est-à-dire que Tasymptoie coupe la courbe en trois points situés à Tinfini.
Telle est la condition générale pour que Taire comprise entre une courbe algébrique et son asymptote soit finie.
Mais cela suppose que la courbe n'ait pas d'autres asymptotes parallèles à celle que Ton considère. Dans le cas contraire, on trouverait par le même calcul qu'il faudrait que Tasymptote considérée coupât la courbe à l'infini en un nombre de points égal à 3 -f- le nombre des asymptotes parallèles à la première.
Corollaire. — Dans l'exemple qui nous a servi précédemment, des deux courbes y= et r = ,
conjuguées l'une de l'autre, les quadratrices avaient la même période, réelle dans l'une et affectée du signe
yj — 1 dans l'autre. Le fait est évidemment général, parce que si une courbe a pour conjuguée une autre courbe, réciproquement, la seconde a pour conjuguée la première, et les anneaux fermés réels de l'une se retrouvent imaginaires dans l'autre.
Remarque. — Il n'y aurait pas lieu de rechercher des périodes imaginaires dans les aires des conjuguées qui ne toucheraient que l'enveloppe imaginaire, parce que ces conjuguées ne pourraient pas présenter d'an-
(90) neaux fermés. En eflet, on ne pourrait même pas leur mener de tangentes parallèles à leurs cordes réelles, car le point de contact d*une pareille tangente réunirait deux points imaginaires conjugués et serait, par conséquent, réel, c'est-à-dire appartiendrait à la courbe réelle.
18. Des périodes cycliques ou logarithmiques, — Il nous reste à parler d'une classe particulière de périodes, dont la théorie et la génération n'ont rien de particulier, mais qui s'expriment, dans tous les lieux, d'une façon exceptionnelle très simple. Ce sont les produits
par ^ — I des aires d*anneaux fermés qui se séparent des conjuguées auxquelles ils appartiennent, lorsque les caractéristiques de ces conjuguées tendent à venir se confondre avec les coefficients angulaires des asymptotes du lieu.
Si une asymptote d'une courbe algébrique de degré m coupe la courbe en (m — 2) points à distance finie, les deux branches correspondantes de la courbe se trouvent de part et d'autre de l'asymptote et la touchent à l'infini à ses deux extrémités opposées. Ces deux branches présentent chacune un certain nombre de points d'inflexion, à partir du dernier desquels chacune des branches ne formera plus qu'un arc dont les points se rapprocheront de plus en plus de l'asymptote. Si l'on conçoit à ces deux arcs terminaux deux tangentes parallèles, très peu inclinées sur la direction de l'asymptote, une parallèle quelconque à ces deux tangentes, et comprise entre elles, coupera le lieu, à distance finie, en des points infiniment peu éloignés de ceux où l'asymptote elle-même coupe déjà ce lieu à distance finie, c'est-à-dire en m — 2 points. Mais il en manquera deux, situés à des distances plus ou moins grandes; d'où il faut conclure
(9' ) que les deux tangentes comprendront entre elles un anneau de la conjuguée ayant pour caractéristique leur coefficient angulaire commun, anneau d'ailleurs complètement isolé des autres branches de la même conjuguée. Le produit par \J — i de l'aire de cet anneau fermé sera une, des périodes de la quadratrice de la courbe \ c'en sera une période cyclique.
Tous ces anneaux ont même aire : le fait n'a pas besoin d'une nouvelle démonstration; mais à la limite ils deviennent des ellipses, dont Taire constante peut être évaluée. Ces ellipses recouvrent deux fois l'asymptote, comme si Téquation de la courbe était du second degré et représentait une hyperbole.
En effet, si Tasymptote en question a été prise pour axe des j^ et que l'équation de la courbe soit
xym-\j^ (ajc2^- f)x -\- c)y'^-^ -H. . . = o,
on a vu que le produit de x^ tendant vers zéro par y devenu infini, a pour limite — c. Cela signifie que les deux branches de la courbe, asymptotes à Taxe des y, tendent à se confondre avec l'hyperbole du second
degré
ry=—c,
et, par conséquent, que l'une des conjuguées du lieu tend à se confondre, dans une de ses parties, avec une conjuguée de l'hyperbole xy = — c. La coïncidence n'a lieu, il est vrai, que lorsque les cordes réelles delà conjuguée sont devenues parallèles à l'asymptote ; mais, à ce moment, l'anneau considéré de la conjuguée devient une ellipse indéfiniment allongée et indéfiniment aplatie; d'un autre côté, l'aire enveloppée par cet anneau, tout en changeant de figure, a conservé la même valeur ; on peut donc prendre pour cette valeur celle de l'aire
(9» ) de l'ellipse, laquelle est =ii 27cc, de sorte que la période est
dz ITZC / — 1.
19. Relation entre les m périodes cycliques d'un lieu de degré m. — La quadratrice d'une courbe de degré m a, en général, m périodes cycliques; mais ces périodes ne sont pas indépendantes.
En effet, soit
-hx'^-^^m-i (i, f ) + • • • = o
l'équation de la courbe :
Si l'on voulait rendre nulle la période cyclique relative à l'asymptote y — «< x — J, = o, il faudrait faire en sorte que cette asymptote coupât la courbe en m — 3 points seulement à distance finie; mais, en éliminant j^ entre l'équation de la courbe et y = a^x -[- b^^ on trouverait
de sorte que pour faire disparaître le terme en x'^"^^ il faudrait faire en sorte que (fm~2(^t «0 fût nul.
On pourrait bien ainsi faire disparaître m — 2 périodes cycliques en posant
mais, pour en faire disparaître encore une, il faudrait faire A = o, et alors la dernière disparaîtrait aussi.
Ainsi les m périodes cycliques de la quadratrice d'un lieu de degré m sont nécessairement liées entre elles par une relation telle que, si m — i d'entre elles sont nulles, la dernière l'est aussi.
(93) Celte relation consiste en ce que la somme des périodes cjcliqnes est toujours nulle j pourvu, bien entendu, qu'on en tire les expressions d'une même formule générale \ car, autrement, chacune d'elles pouvant
recevoir le double signe ± y/ — i, la somme totale ne serait pas déterminée.
Remarquons d'abord que, si l'équation de la courbe a été mise sous la forme
h{x — A)7'«-»-t- (Ma7î-h Nar -f- P) j^'»-2 -f-. . . = o,
les axes faisant entre eux un angle a, la période cyclique relative à l'asymptote x = h sera exprimée par
27c(MA2-+-NA-+-P)sina
Cela posé, soit, en coordonnées rectangulaires,
• (y — ctix — bi )(7 — a^x — 62). . -(r — «/n^— bm)
-hX^^-^Om-ih,^) -+-...=
l'équation de la courbe : rendons l'axe desj^ parallèle à l'asymptote y = atX -h b^f sans changer l'origine, ni l'axe des j:, les formules de transformation seront
X = x'-hjr cosoLi et j^=j^'sinai,
a» désignant l'angle dont la tangente est a^. La substitution donnera
( — aix' — bi)[y{s\noLi — ajcosai) — azx' — ^2]- • • x[y{s'mai—amCOS(Xi) — a,nx'—bfn]
-+- «pm-2 {^'-^y cosa,,y sina,) -f-. . . = o;
en conséquence, le coefficient de ar'j'"'"* sera
L = — «1 cos'"-ïa|(ai — a2)(ai — «3). . .(«i — dm)- •
Quant au ternie eny'"^'^^ qui proviendraît de
( — aja?'— 6i)[j(sinai — «j cosai — 020?'— b^]. . . x[y{s\nai — aniCosoLi)'-am^'—bm]y
il disparaîtrait de lui-même, quand on y ferait
«10?'-+- bi = o,
il sera donc inutile de le transcrire.
Il reste à chercher la partie utile du coefficient de ym-i dans
©,„,(a7'-hy cosai,y sina,).
Ce coefficient est simplement
«P//ï-î(cosai, sinai),
ou, à cause de riiomogénéité de cette fonction,
cos"»-îai(p,„2(i,ai).
La période cyclique relative a Tasymptote
y — aix — 61 =0 *
est donc
27r/ — I cos'"-2aicp,„j(i, a^) sinaj
— ai cos'«-* «1 ( «1 — «î ) ( ai — «3 ) . . . ( «1 — tt/w)
OU, simplement.
(a, — a2)(a, — as)., .(ai— a,„)
Les autres s'exprimeraient de la même manière.
Mais un polynôme de degré (m — 2) est déterminé par (m — i ) substitutions et, d'après la formule de Lagrange,
o;„2(l. a) = Om-2{l,Cli)
cp,;i 2(i, a/,i i)
(ai — a2)(ai — a3)...(ai — a,«,) (g — ai) (a — a^) , . .( a — a^n-t) {a^ — ai)(a2 — a»). . .(ai — a^i)
(a — ai),, .{a — a„i-2)
{^m-i — ai ). . .{a,fi-i — a,„2)
(95) En remplaçant, dans cette identité, a par a;„, il vient
-^^m-i{ly ^i)~TZ Zr\ 7~^ T"; T
ou, en multipliant les deux termes de la première fraction du second membre par (a< — «m)? les deux termes de la seconde par («2 — «m)? •--•, divisant les deux membres par
et, faisant tout passer dans le premier membre,
( ai — «2 ) • • . ( «1 — ^m)
ou
20. Théorème. — Les périodes cycliques de la quadratrice d'une courbe algébrique de degré m sont les
produits par Qny/ — i des racines d'une équation algébrique de degré m, manquant de second ternie, et dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de ceux de V équation de la courbe.
En etï'et, soit 211 y/ — i R Tune des périodes cycliques, R est donné par la formule
cp,;i 2(i,a) a désignant le coefficient angulaire de l'une des asym-
(96) ptotes, racine (le réqualion if„i(a)= o, de sorle que les valeups de R seraient les racines de Téquation qu'on ob* tiendrait en éliminant a entre les équations
R = -! — , ■ , ^ et o,«(a) = o.
Mais les coefficients de (fm^2{^ t ^) i^e sont pas explicités dans l'équation de la courbe ; car, dans ce qui précède, ^m-2(^7 j) désigne la diiïérence entre l'ensemble des termes de degré (m — 2) du premier membre de l'équation de la courbe, lesquels seuls sont connus d'avance, et l'ensemble des termes de degré (m — 2) du produit
(y — aix — bi){y— aix ^ bi). . .{y ^ a;„x— b^).
Mais l'expression générale d'un terme de degré (m — 2) de ce produit est
^1 b^iy — fi3^){y — ai,x). . .(7 — a,nx)
^m-\{oc^j) désignant l'ensemble connu des termes de degré (m — i) du premier membre de l'équation de la courbe, telle qu'elle est donnée, de sorte que l'ensemble des termes que l'on cherchait est
Or les coefficients de cette fonction de x et Aej seront des fonctions symétriques de «4, «2? •••î^m^ ils s'exprimeront donc rationnellement en fonction des coefficients de cp^(a:, jk); par conséquent, les coefficients de ^m-2 (-^j j)
(97) OU ceux de fm-ii^y «) s'exprimeront aussi ratîoiinellement eu fonction des coefficients donnés de Inéquation de la courbe.
Donc les coefficients de Féquation en R seront des fonctions rationnelles des coefficients de l'équation donnée de la courbe proposée.
Ainsi la théorie des périodes cycliques est ramenée à celle des équations algébriques. On pourra savoir sî la quâdratrice d'une courbe a des périodes cycliques égales, si les quadratrices de deux courbes ont des périodes cycliques communes, etc. (*).
21. Classification des quadratrices des courbes algébriques d'après le nombre et V espèce de leurs périôdes. — D'après la théorie qui a été exposée dans ce qui précède, les périodes derinlégrale quâdratrice d'une courbe algébrique sont représentées par les aires d'anneaux fermés de la courbe réelle, des conjuguées de cette courbe ou de Tenveloppe imaginaire*, mais les figures géométriques de ces anneaux ne dépendent pas du choix des axes : les périodes de l'intégrale quâdratrice d'une courbe restent donc toujours les mêmes, quels que soient les axes auxquels cette courbe soit rapportée.
Nous savons dans quelles conditions les périodes cycliques peuvent disparaître.
D'un autre côté, si un anneau fermé de la courbe réelle ou d'une conjuguée devient accidentellement évanouissant, l'aire qu'il enveloppait sera nulle et la quâdratrice de la courbe perdra une de ses périodes.
(*) Ce dernier théorème ne se trouve pas dans ma Théorie des fonctions de variables imaginaires ; il n'a été publié qu'en 1876, dans les Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences. M. 7
(9«) réelle dans le premier cas, et imaginaire sans partie réelle dans le second.
Dans Tun et l'autre cas, il se forme dans la courbe un point double réel. C'est évident dans le premier cas et facile à voir dans le second, parce qu'un anneau fermé de conjuguée est toujours tangent à la courbe réelle en deux points appartenant à deux branches distinctes et que ces deux points doivent forcément se réunir en un seul pour que l'anneau s'évanouisse. Nous avons démontré, en efïet, que les conjuguées qui ne touchent que l'enveloppe imaginaire ne peuvent pas présenter d'anneaux fermés.
Le fait est encore facile à constater lorsqu'il s'agît d'un anneau fermé de l'enveloppe imaginaire, composé de points imaginaires conjugués deux à deux : lorsqu'un pareil anneau devient évanouissant, la période représentée par l'aire qu'il enveloppait disparaît, et en même temps il se forme un point double réel, réunion de deux séries de points imaginaires conjugués deux à deux.
Enfin, le cas, plus général, où deux périodes imaginaires conjuguées seraient liées a l'existence simultanée, dans l'enveloppe imaginaire, de deux anneaux composés chacun des points imaginaires conjugués de ceux qui formeraient l'autre, rentre encore dans les précédents, mais présente une particularité qui consiste en ce que les deux périodes ne peuvent disparaître qu'en même temps et par la formation simultanée de deux points doubles.
Supposons, s'il s'agissait d'une équation à coefficients
imaginaires
qu'on l'ait complétée par l'addition du facteur
de façon à obtenir ré(juation
PÎ+Q2 = o.
Les deux périodes imaginaires conjuguées seront représentées par les formules
et
I = 9.S1 1 sJ—
elles s'évanouiront en même temps si les anneaux dont les aires sont S et S' se réduisent à deux points imaginaires conjugués, parce que l'arc dont Taire est S| se réduira alors aussi à un seul point; mais les deux points imaginaires conjugués où se seront concentrées les deux suites de points imaginaires conjugués qui constituaient les deux anneaux seront alors deux points doubles.
C'est ce qui arrive, par exemple, dans le système des deux cercles imaginait es conjugués, représentés par l'équation
[(^a-6/^)V(7-a'-6V^r-(/'+/V-0'] x[(:r-a+6/=:i)*H-(y--a'H-6V^)'-(r-rV'-^)*] = o:
Les deux périodes sont
ir(r-i-r'/— ^)* et 7c(r— r' /— ^)^;
elles ne s'annulent ni l'une ni l'autre que pour r =: o et r' = o, mais alors le lieu acquiert deux points doubles,
et
( »«o ) Remarque. — Les deux périodes I et F s'évanouiraient arithmétiqueinent sans disparaître géométriquement si S, S' et S| satisfaisaient aux conditions
S~S'i=o et 2S1 = o;
mais ces deux conditions, fortuitement satisfaites, seraient d'ordre transcendant.
Ces périodes peuvent souvent disparaître dans des conditions analogues, sans que leur disparition entraîne la formation de points doubles, comme nous aurons occasion de le dire plus loin^ mais ce n'est pas de ce genre de réduction dans le nombre des périodes que nous nous occupons ici. Nous cherchons à fixer les conditions dans lesquelles la valeur d'une période devient nulle en même temps que sa représentation géométrique devient évanouissante; et nous trouvons que, dans tous les cas, la condition consiste en ce qu'il se forme dans le lieu un ou deux points doubles, selon qu'il s'agit de faire disparaître une période réelle, ou imaginaire sans partie réelle, ou deux périodes imaginaires conjuguées.
22. Les périodes de la quadratrice d^une courbe algébrique peui^ent encore disparaître en devenant infinies, — Lorsqu'un anneau de la courbe réelle se transforme en une branche parabolique, l'aire correspondante devient infinie et la qiiadratrice perd une période, parce qu'elle n'est plus exprimable.
Il en est de même lorsque Tune des deux branches de la courbe réelle, qui comprenaient des anneaux fermés de conjuguées, passant à l'infini, ces conjuguées deviennent paraboliques.
C'est ainsi que la quadratrice d'une conique perd sa
( 'o- ) période et devient algébrique lorsque cette conique se transforme en parabole. Si l'on considère cette parabole comme dérivée de Tellipse, Taire de cette ellipse, qui formait la période réelle de la quadratrice, est devenue infinie et a disparu. Si, au contraire, on considère la parabole comme dérivée de Thyperbole, une des branches de cette hyperbole a passé à l'infini, l'aire commune des conjuguées de cette hyperbole a grandi indéfiniment et la période imaginaire est devenue infinie.
Il en serait évidemment de même si des anneaux de Tenveloppe imaginaire d'un lieu devenaient paraboliques.
Mais la théorie des quadratrices des courbes paraboliques offre aujourd'hui des difficultés inabordables.
Ces courbes présentent, avec les courbes pourvues de points doubles à distance finie, cette analogie géométrique que ni les unes ni les autres n'ont jamais, eu égard à leur degré, le nombre maximum de tangentes parallèles à une direction donnée, et peut-être est-ce là le point de vue où il faudrait se placer pour en faire l'étude, car toute réduction dans ce nombre de tangentes en amène forcément une correspondante dans le nombre des anneaux fermés, mais il n'y a rien de fait à cet égard.
Nous ne nous occuperons donc plus des courbes paraboliques.
Au contraire, ce que nous n(»us proposons est de chercher, d'abord, le nombre des périodes de la quadratrice de la courbe la plus générale de degré m et de voir ensuite comment elle pourrait les perdre toutes successivement, les coefficients de l'équation de la courbe n^étant alors liés entre eux que par le moindre nombre possible de conditions» En d'autres termes, nous vouions déterminer- la courbe la plus générale de degré w, dont la quadrature serait algébrique.
23. lY une réduction accessoire d'une nouvelle unité dans le nombre des périodes de la quadmlrice, au moment de la formation d*un point double à distance finie dans la courbe correspondante . — Celte réduction se produit nécessairement au moment de la formation d'un point double qui fait évanouir la représentation géométrique d'une période, parce que deux anneaux, entre lesquels était compris celui qui vient de se réduire à un point unique, viennent se confondre en un seul circuit, en forme de huit, où il n'est plus possible de distinguer les deux anneaux Tun de Tautre, la condition de continuité obligeant le point décrivant [j^, J)^] à parcourir les deux boucles en avançant toujours dans le même sens.
Il suffira d'établir le fait dans le cas le plus général, parce que les périodes de la quadratrice de la courbe la plus générale de degré m devant, dans tous les cas particuliers, rester les mêmes fonctions des coefficients, si
Fi g. 20.
l'on peut constater, dans un cas absolument général, que la formation d'un point double entraine la disparition de deux périodes dans la quadratrice, on pourra conclure à la même coïncidence dans tous les cas particuliers.
Supposons que la courbe ait toutes ses asymptotes réelles et que ce soit un anneau fermé de la courbe réelle qui doive s'évanouir; menons à cet anneau deux tangentes parallèles qui n'aient la direction d'aucune asymptote : les conjuguées du lieu qui toucheront l'an-
( 'o3 ) neau considéré aux poinls decoiilact des deux tangentes parallèles seront nécessairement fermées, quelque loin qu'ils s'étendent d'ailleurs, parce que la conjuguée à laquelle ils appartiendront, n'ayant pas d'asymptotes, n'aura pas de branches infinies-, les produits par y/ — i des aires de ces deux anneaux formeront deux périodes imaginaires de la quadratrire du lieu.
Mais, au moment où Tanneau de la courbe réelle s'é- Vanouira en un point isolé, les deux anneaux de la conjuguée se rejoindront au point isolé et s'y couperont sous un angle, au lieu de s'y toucher, de sorte que les deux périodes, précédemment distinctes, se fondront en une seule égale à leur différence.
Il en serait évidemment de même si l'anneau qui devrait s'évanouir appartenait à une conjuguée et était, au contraire, compris entre deux anneaux fermés de la courbe réelle. Seulement les deux tangentes à la courbe au point double seraient alors réelles, au lieu d'être imaginaires.
Ainsi la formation d'un point double doit entraîner une réduction de deux unités dans le nombre des périodes. Le même fait, au reste, se reproduirait dans les mêmes conditions si, un huit s'élant déjà produit, il se
formait un nouveau point double sur son pourtour. Seulement, au lieu de deux boucles, il s'en présenterait trois, en continuité entre elles.
Fig. 21.
Les trois boucles seraient, en tous cas, de même nature, c'est-à-dire toutes les trois réelles ou toutes les trois imaginaires.
En résumé, on doit admettre que la formation de p poiuts doubles dans une courbe entraine une réduction de 3/7 unités dans le nombre des périodes de sa quadratrice.
24. Des autres conditions dans lesquelles peuvent se produire des réd actions dans le nombre des périodes, — D'autres réductions peuvent être amenées par beaucoup d'autres circonstances : ainsi une période représentée par Taire d'un anneau en forme de huit disparaîtra lorsque les aires des deux boucles seront égales; deux périodes représentées par les aires des deux anneaux fermés de la courbe réelle se réduiront à une seule si ces aires sont égales, et il en sera de même si les anneaux fermés de conjuguées, compris entre des branches distinctes de la courbe réelle, présentent la même aire, etc.
C'est ainsi, par exemple, que la quadratrice de la courbe
ne comporte que deux périodes - et - ^ — i , to dési-
gnant l'aire de l'anneau de la courbe réelle, compris entre les droites a7 = dia etj^ = =ii:a. Mais aussi, dans cet exemple, la courbe réelle, ses conjuguées à abscisses et à ordonnées réelles, et l'enveloppe imaginaire de ses conjuguées se confondent géométriquement.
Mais, dans ces dernières circonstances, la disparition de chaque période manquante tiendra à la présence d'une relation particulière entre les coefficients de l'équation de la courbe, tandis quela relation unique qui introduit chaque point double entraîne une réduction de deux unités dans le nombre des périodes, de sorte que, à égalité dans le nombre des périodes restantes, la courbe dont l'équation contiendra encore le plus de paramètres
( «oS)
indépendants sera celle pour laquelle la disparition des périodes manquantes sera déterminée exclusivement par la formation de points doubles en nombre suffisant , c'est-à-dire en nombre /7, s'il a disparu ip périodes.
2o. Du nombre maximum de points doubles et du nombre maximum de périodes non cj cliques, — Si une courbe de degré m se résout en deux autres, l'une de degré (/w — q)^ et Tautre de degré ^, n'ayant ni l'une ni l'autre de points doubles, le nombre des points doubles de la courbe composée sera
si à son tour la courbe de degré q se résout en deux autres, de degrés (^ — r) et r, n'ayant pas de points doubles, la courbe décomposée présentera
(m — q){q — r)-h(m — q)r-\-r{q — r) = (m — q)q-hr(q — r)
points doubles.
Il en résulte que, plus une courbe de degré m se segmente en courbes de degrés moindres, n'ayant pas de points doubles, plus elle présente de points doubles.
Le nombre maximum de points doubles que puisse présenter une courbe de degré m correspond donc au cas où elle dégénère en m droites, et ce nombre est
ni(m — i)
Il reste alors a m coefficients indépendants dans l'équation de la courbe, au lieu de
( 'o6 ) les coefficienls de la courbe satisfont donc alors à
conditions.
Mais de ces ^conditions, il y en a (//i — i)
qui expriment que les m périodes cycliques sont nulles, puisqu'elles le sont en efl'et, et les
autres expriment cliacune la présence d'un point double dans la courbe.
Si l'on supprimait les (m — i) conditions qui expriment que les m périodes cycliques sont nulles, lesquelles
peuvent s exprimera part, Jes conditions
restantes exprimeraient encore la présence d'autant de points doubles, et, les (m — i) premières étant retirées, la courbe redeviendrait irréductible.
Donc le nombre maximum de points doubles d'une courbe irréductible de degié /// est
im — \){m — 2)
et, par conséquent, la quadratrice de la courbe la plus générale de degré ui comporte
péiîoiles non cycliques; si l'on* rajoute les (m — 1) périodes cycliques, on obtient (/w — 1)^ pour le nombre total des périodes de toute nature.
On conclut de cette théorie :
1" Qu'une courbe de degré m, qui présente
(m — i){ni — 1)
( >o7 ) points doubles et que toutes ses asymptotes coupent chacune en trois points situés à Tinfini, estquarrable algébriquement;
Qu'une courbe de degré m, qui présente
points doubles, mais dont les asymptotes sont quelconques, est quarrable par les fonctions circulaires inverses ou par les fonctions logarithmiques; Qu'une courbe de degré m, qui présente
points doubles, est quarrable par les fonctions circulaires inverses et par les fonctions doublement périodiques; 2° Que la courbe la plus générale de degré /w, quarrable algébriquement, est celle qui présente
points doubles et que ses asymptotes coupent chacune en trois points à l'infini;
Que la courbe la plus générale de degré ///, quarrable par les fonctions circulaires inverses, est celle qui pré -
sente ^^ points doubles:
Que la courbe la plus générale de degré m, quarrable parles fonctions circulaires inverses et par les fonctions doublement périodiques, est celle qui présente
(m — i)(ni — 2)
points doubles, etc.
Mais il ne faudrait pas conclure, du mode de quadrabililé d'une courbe, au nombre de ses points doubles,
( io8) parce que, comme nous Tavons dit, le nombre des périodes peut se réduire dans toutes sortes de circon* stances. Ainsi la courbe j^* -f- x* = a* est quarrable par les fonctions à deux périodes, c'est-à-dire par les fonctions elliptiques, et cependant elle ne présente aucun point double.
26. Détermination de la courbe la plus générale du troisième degré quarrable algébriquement, — Les trois asymptotes de cette courbe doivent la couper chacune en trois points situés à Tinfini, par conséquent elle doit avoir trois diamètres rectilignes, respectivement conjugués des cordes parallèles à ses trois asymptotes^ ces diamètres seront, d'ailleurs, les médianes du triangle des asymptotes; la courbe doit, en outre, avoir un point double, lequel ne pourra se trouver qu'au point de rencontre des trois diamètres.
Son équation, rapportée à Tune des médianes, prise pour axe des x, au point double, pris pour origine, et à la parallèle à Tasymptote parallèle aux cordes conjuguées de Taxe des x^ prise pour axe des j', est
ax / X -h 3 ^ ~ ^my x — i
a désignant la moitié du côté du triangle des asymptotes qui est parallèle à l'axe des 7 , et ni le tiers de la médiane correspondant à ce côté pris pour base. La quadratrice est
La courbe représentée par l'équation
__ ax /x -4- 3 m '^ ~~ '^m\ X — m
a la figure ci-jointe.
Je lui ai donné le nom de trèflcy a cause de sa (oruie :
( »V9 ) toutes ses conjuguées, qui sont du sixième degré, sauf le folium de Descartes, sont également quarrables algébriquement. On savait depuis longtemps que le folium était quarrable algébriquement , mais on n^avait pas
Fig. 22.
l'explication du fait. On vériGera aisément que les trois asymptotes de cette courbe la coupent aussi chacune eu trois points situés à Tinfini ^ seulement deux d'entre elles sont imaginaires.
Cet exemple est très propre à faire toucher du doigt bien des choses que j*ai énoncées comme évidentes, parce qu'elles le sont en effet, mais qui paraissent avoir été peu comprises.
La démonstration, entre autres, de ce théorème que la formation d'un nouveau point double dans une courbe algébrique entraine une réduction de deux unités dans le nombre des périodes de la quadratrice, tette démonstration d'un fait, pourtant si imprévu, n'a excité aucun intérêt, parce que l'analyse pure ne peut pas fournir, par elle-même, une notion exacte de la continuité et que les analystes cultivent généralement très peu la Géométrie.
Il est facile de montrer combien étaient mal fondées les préventions avec lesquelles ma démonstration a été reçue.
Menons au trèfle TaT'UAU'VcV deux tangentes parallèles DE, D'E', dont la direction soit celle d'une droite comprise dans l'intérieur de l'angle A, par exemple, du triangle BAC des asymptotes ^ une parallèle à ces deux tangentes et comprise entre elles ne coupera la courbe qu'en un seul point réel; les deux tangentes
DE, D'E' comprendront donc entre elles une conjuguée du trèfle ; cette conjuguée sera fermée de toutes parts, ce qui était prévu, les trois asymptotes de la courbe réelle étant réelles. Soit C la caractéristique de cette conjuguée ou le coefficient angulaire commun de DE, D'E'; la conjuguée C passera au point double O; les éléments du lieu en ce point O seront fournis par Téquation
ôx 3 m
les coefficients angulaires des tangentes à la conjuguée C, au point O, seront donc, d'après une formule connue,
En conséquence, les branches de la conjuguée considérée se couperont au point O sous un angle et elles formeront une boucle en forme de huit; cette conjuguée aura une forme telle que celle qu'indique la figure; si l'Algèbre entendait la continuité autrement que moi, si elle la comprenait, par exemple, comme l'ont comprise MM. Cauchy et Puiseux, dans leur théorie de la série de Taylor; ou si l'Algèbre considérait le chemin ONHMO comme fermé, sous le prétexte que le point mobile [^jj^]^ parti de O, serait revenu en O, c'està-dire que la fonction y et sa variable x seraient en même temps revenues à leurs valeurs initiales, mais sans que les dérivées initiales et finales de tous les ordres, de la fonction j'^, fussent les mêmes au départ et à Tarrivée, l'intégrale
/ax /x->r 3m y X —
admettrait pour période le produit par y/ — i de l'aire de la boucle HMONH; elle admettrait de même pour
période le produit par y/ — i de Taire de la boucle OM'H'N'O; mais, cette intégrale étant algébrique n'a pas de périodes; donc l'Algèbre entend la continuité comme je l'ai entendue partout dans la théorie de la série de Taylor, comme dans la théorie des intégrales.
Maintenant, pourquoi la quadratrice du trèfle est-elle algébrique, quoique ses conjuguées soient toutes fermées, sauf celles dont les cordes réelles sont parallèles
aux trois directions asymptotiques et qui sont des foliunis? C'est parce que les deux boucles de Tune quelconque d'entre elles, même des trois qui sont des foliums, entourent des aires égales, comme on le vérifierait aisément, puisqu'on a la formule de quadrature et que
c'est le produit par y/ — i de la différence de leurs aires qui forme la période; parce que la continuité exige que les deux boucles soient parcourues dans le sens indiqué par les flèches, ou dans le sens contraire.
Quant à la raison pour laquelle les deux aires ONHlVIO et ON'H'M'O sont égales, dans le cas actuel, elle est facile adonner : si l'on déformait infiniment peu la courbe, de manière, d'une part, à supprimer le point double, qui serait alors remplacé par un petit anneau réel, et, de Tautre, à faire en sorte que les trois asymptotes cessassent d'être d'inflexion, en premier lieu, la conjuguée ONHMON'H'WO se segmenterait en deux anneaux séparés, compris, Tun entre la branche UU' et l'anneau réel, qui aurait remplacé le point double, l'autre compris entre ce même anneau réel et la branche VV; en second lieu, les aires enveloppées par les deux anneaux de la conjuguée cesseraient d'être égales; mais, en troisième lieu, la quadratrice de la courbe ne comportant que deux périodes elliptiques, la ditîérence des deux aires en question, lorsqu'elle réexisterait, ne pourrait êlre que l'aire correspondant à l'une des trois périodes cycliques.
La réapparition du point double, non accompagnée de l'annulation des trois périodes cycliques, aurait alors pour effets, d'abord, de réduire à néant la période elliptique réelle; en second lieu, de réduire à une seule apparence les deux figures de la période ullracyclique imaginaire; en troisième lieu, de supprimer, par soustraction, la partie commune, elliptique, des deux repré-
( "3)' sentations de la période ultracyclique imaginaire; enfin de ne laisser subsister, à la place des deux figures de la période ultra cyclique imaginaire, qu'une forme accessoire de l'une des périodes cycliques.
' Sur la rectification des courbes planes.
Les intégrales rectifîcatrices de Tenveloppe réelle et de Tenveloppe imaginaire réalisée d'un même lieu ont
les mêmes périodes, au facteur y/ — i près.
La période réelle de la rectificatrice d'une hyperbole est la différence entre la longueur totale de cette hyperbole et la longueur totale de ses asymptotes (les extrémités ayant mêmes abscisses)^ la période imaginaire de
la même rectificatrice est le produit par \/ — i de la différence entre la longueur totale de Thyperbole supplémentaire et la longueur totale des asymptotes communes.
Ces deux derniers théorèmes s'étendent aux courbes de tous les ordres, en y considérant les différents cycles fermés, composés de branches convenablement groupées des deux enveloppes et de leurs asymptotes communes.
Les démonstrations de ces théorèmes se trouvent dans le Tome II de ma Tliéorie des fonctions de ^variables imaginaires; elles n'ont pas été données aux Conférences.
27. Précis d^une théorie rationnelle des fonctions circulaires directes et im^erses. — Si l'on pose
y sera par définition le sinus de S et S l'arc dont le sinus M. 8
est j^^ X = ^ i — j - sera Je cosinus de S et S l'arc dont le cosinus est x = \/i — j*;-sera la tangente de S,
~ en sera la colangente, - la sécante et — la cosécante. On aura évidemment
sin*S -H cos*S = I, tangS =
sinS cosS
X eiy étant les coordonnées d'un point quelconque du cercle x^ -i-J^ = ï ou de Tune de ses conjuguées, il sera toujours facile, par la théorie des aires, de savoir ce que sera S, quand même x et y seraient imaginaires.
Supposons d'abord j réel et moindre que i , .r sera
Fig. 24.
^^Jft
aussi réel et moindre que i ; le point [x, j-^ appartiendra au cercle : soit M ce point,
/"^(i— r'-t-7')rfr
♦0 = 1 aire OAMP — 2 aire OPM = 2 aire secteur AOM -i- 2A'7r= S.
Si y est imaginaire sans partie réelle, x sera réel et
plus grand que i , le jK)int [.r, y] appartiendra à la conjuguée à abscisses réelles du cercle : soit M ce point,
2 / (iy \f^—J* sera imaginaire sans partie réelle, et
représentera le produit par yj — i de Taire OAMP5 d'un autre côté, — y \' ^ — y^ représentera le double du produit par y/ — I de Taire du triangle OiNJP; par conséquent / , "^ ou S représentera le double du produit
par y/ — i de Taire du secteur AO IVl, et Ton pourra y
Fi g. 25.
ajouter un nombre entier de fois 2 7r, parce que, avant de faire parcourir Tare AM au point [a:, j^], on pourra lui faire parcourir, autant de fois que Ton voudra, la circonférence ABCDA, dans un sens ou dans l'autre.
Si j^ et X ont respectivement pour valeurs a! -h p' y/ — i
et a -h P ^ — I, le point [^, J^] appartiendra à la conju-
guée C = V du cercle : soit M ce point, a et ol' seront
les coordonnées du point N milieu de la corde réelle MNM' àe la conjuguée, c'est-à-dire OQ et QN, |3 sera égal à — NR et P' à -h RM, de sorte que x et y auront respectivement pour valeurs
jK = QN 4- RM v/^ ;
( "6) mais la figure donne les analogies
