RM MN OT "" OB
c'est-à-dire
et d'où
QN = sin(2AOB)cos(2BOM /=^)
RM v/^ = cos(2 AOB) sin (2BOM /^ ;
y= sin(aAOB)cos(2BOM\/^) -4-cos(2AOB)sin(2BOM v/^^;
Fig. 26.
dy
d'un autre côté, si l'on cherchait la valeur de / —==
J VI — on trouverait
S = 2 (AOB -H BOM /^) -f- 2^7r ; on en conclut
^ = sinS = sin(2^0B -+- 2BOM /^^
= sin(2A0B) cos(2BOM /^) cos(2 AOB) sin (2 BOM v^^) ;
on trouverait de même
a? = cosS= cos(2AOB -H 2BOM /^) = cos(2 AOB)cos(2BOM y/^) — sin(2A0B) sin(2B0M v^^).
La formule
donne
dy 4/j«y2 cosS
d'où
^ =D(sinS) = cosS;
d'un autre côté,
dS dS
dy \
dx ~ dy
dx cosS dx cosS y
sinS
dy /i jî
dou
-^ = D(cosS) = — sinS.
Il en résulte par la formule de Maclaurin
sin S = S -h . . . ,
quel que soit S.
cosS = 1 — — -+-..., 1.2
28. Précis (Tune théorie rationnelle des fonctions exponentielle et logarithmique. — Si Ton pose
S sera Taire de l'hyperbole équilatère j^ = -> comptée
du sommet A jusqu'à un point quelconque d'une conjuguée quelconque et s'appellera le logarithme de x.
Si ^(^) désigne une fonction de x assujettie seulement à prendre la valeur 1 pour a:= i, on aura identiquement
C"" — r"" <^{x)dx^ r'' (^(x)dx-\-x(^'(x)dx r"" d[x(f(x)]
c'esl-à-dire
( ii8 )
L{ar)-\'L[^{x)\ = L[x^{x)],
'^(x) pouvant prendre une valeur quelconque lorsque a: n'est pas égal à i . On en conclut
L(ab)= L(a)-HL(6), L^ljr-. L{«)-L(6),
Le demi-axe OA de l'hyperbole est y/25 par conséquent,
Kig. 27.
■JC
l'aire de la conjuguée circulaire est 27: et la période de Tintégrale / — est 2 7t y/ — i , c'est-à-dire que
rf=x
dx
= aireaAMm-i-2A:'ïr v/ — t
— L(œ) -+- ^ki: y/ — i.
Si M' désigne le point de l'hyperbole diamétralement opposé à M,
a.T r ci.r r dx
r**'^ r^' dx r
( '«9) mais
par conséquent,
Si M< désigne le point de l'hyperbole supplémentaire symétrique de M par rapport à Taxe desj^,
mais
en effet, lorsque le point mobile
parcourt la conjuguée C du lieu xj = i. ^ conserve la valeur C^ mais
^^ ct-f-pz-i- «•^ + p-^
^ « L rr-
' a2 + p2 a2^p2V ', de sorte que
et que, par conséquent,
conserve une valeur constante C, ou que ar/a4- |3 //[î
( »2o ) leslc constaininent nul. Il en résulte que
(g— p/~r)(^gH-rf?v/=^)
= — G A a c?a H- 3 rfp ) — G /^ fc^da-had^)
reste imaginaire sans partie réelle. Or la partie imagi-
— est sj — I, car, Pordonnécy du point
M| de Tenveloppe imaginaire des conjuguées du lieu
étant imaginaire sans partie réelle, Texpression ^ de
Taire du triangle à introduire à la limite Mf , pour rapporter le lieu au même axe des x et a une parallèle aux cordes réelles de la conjuguée MM^, serait réelle. Il en résulte
et, de la même manière,
Jr^'^J--^ dx
' -^ = L(a7)-l-(2X:-4-i)Tr/^ ».
Comme S croit en progression arithmétique, lorsque x croît en progression géométrique et que, d'ailleurs,
— = - pari de la valeur i, lorsque a:= i et S = o, il
en résulte que les deux progressions sont, pour x,
i:(i-ha) : (i-f-a)2: .. . :(n-a)« : ..., et pour S,
fj«A«^UC* ••• • rC- % • • ■ ■ •
a pouvant être réel ou imaginaire.
Si Ton veut déterminer la base du système, il faut
supposer a réel et prendre /îa=i, d'où n = - et la base est
Les logarithmes dont il s'agit dans ce qui précède sont donc les logarithmes népériens ; et, en conséquence, ou peut poser
pourvu qu'il soit entendu que les exposants S se comporteront, dans toutes les opérations, comme s'ils étaient réels.
L'équation
donne
d'où
dx X
dx „
toutes les dérivées de x par rapport à S se réduisent donc à e^, et ont la valeur \ , pour S = o ; il en résulte, par la formule de Maclaurin,
e*> = IH 1
Remarque, — Il n'est pas étonnant que les fonctions circulaires, directes et inverses, se ramènent aux fonctions exponentielles et logarithmiques, puisque les unes ont leur origine dans la quadratrice du cercle et de ses conjuguées, qui sont des hyperboles équilatères, et les autres dans la .quadratrice de l'hyperbole équilatère et de ses conjuguées, dont l'une est un cercle.
SUR LES rONCTIOKS ELLIPTIQUES.
Le second Volume de ma Théorie des fonctions de ^variables imaginaires contient la théorie élémentaire des fonctions elliptiques, établie d'après les mêmes principes que les deux précédentes.
