GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

Le temps n'a permis de traiter que bien imparfaitement les questions, analogues aux précédentes, que comporte la Géométrie à trois dimensions.

Nous ne ferons guère non plus, ici, qu'indiquer les solutions.

On trouvera les explications complémentaires qui seraient jugées utiles dans les deux premiers Volumes de la Tliéorie des fonctions de variables imaginaires ; mais le lecteur pourrait toujours y suppléer aisément.

\ . J'appelle conjuguées d'une surface représentée par une équation

les lieux des points

correspondant à toutes les solutions

de Téquation proposée, où les parties imaginaires [3, jj' et [3" seraient comme des constantes

C, C et C", c'est-à-dire, telles que

2. La situation dans Tespace du point [xi, j^i, ^i], qui représente une solution imaginaire, reste la même quelle que soit la transformation de coordonnées qu'on fasse subir au lieu considéré et, par suite, à la solution représentée.

En effet, si les formules de transformation, résolues par rapport aux nouvelles coordonnées, sont

x' =^ a -^ mx -\- ny -hpZy y = a'-h m'x H- n'y -\- p' z^ z'= a'-f-m"a7-h n''y -hp'z,

les valeurs des nouvelles coordonnées j/, y'^ z' qui correspondent à

sont

x' = a -^ ma -h/ia' -hpa' -h(nt^ H-zi^' -+-/>P" ) / — i , y = a' -h m'a-hn'a'-\-p'a''-h(m'^ H- n'p'-h/P") v^'^.

de sorte que les coordonnées x^, y^^ z^ du point représentatif de la première solution étant

et les coordonnées x\^j\^ z\ du point représentatif de la seconde solution étant

x'^^a-^-m (a-Hp)+n («'-!-?') + /? (a^-i-P"), y\ = a'-+- m'(a -^ P)-t- n'(a'-^ p')+ p'(a"+ p"),

^; = a" -H /7i'((H- p)-4- n"(a'-^ P') -H />"(«"-+" P') ou

a?j = a -f. mxx H- nj^j -h/>^i,

yj = a' -\-m'xx-^^ n'yi -hp'z^

il est clair que les deux points {x^^y^^ Zi)Gt(x\^j\^ z^) coïncident, puisque leurs coordonnées sont reliées entre elles par les formules de la transformation effectuée.

Le mode de construction adopté, pour obtenir les coordonnées du point représentatif d'une solution, est d'ailleurs le seul qui assure la fixité dans Pespace de ce point, puisque, par exemple, pour assurer la fixité du point dans l'espace, il faudrait, au moins, assurer celle de sa projection sur le plan des xjj si Ton ne faisait changer que les directions des axes des x et des j^, dans Tancien plan des xy et que, pour cela, il faudrait, d'après ce qu'on a vu en Géométrie plane, représenter la solution

x= a-h p v^— I, y — an- ^' \/—\ par le point