Une droite réelle

n'est capable que de solutions du système [C, C, C] ; de sorte que la conjuguée [C, G', G"] d'un lieu f{x^ y, z) = o est le lieu des intersections idéales, réalisées, de ce lieu et de la suite des droites représentées par les équations

— j:^ — = ^-7:77 — = — -^^qr- j où rf, rf' et d" seraient variables

Cl Li vj

n volonté.

Ges droites sont les cordes réelles de la conjuguée, elles joignent deux à deux ses points imaginaires conjugués.

4. En rendant l'un des axes de coordonnées parallèle aux cordes réelles d'une conjuguée, on rendrait en

( >2(i) même temps réelles les deux autres coordonnées de tous ses points.

5. Il en résulte que, par un choix convenable d'axes, on peut toujours ramoner l'ordonnée z, par exemple, d'une conjuguée à être une fonction de deux autres variables X et V, réelles.

6. Les conjuguées d'une surface réelle lui sont généralement inscrites ou circonscrites et la courbe de contact, pour chacune d'elles, est la courbe de contact avec la même surface réelle du cylindre qui lui serait circonscrit parallèlement aux cordes réelles de la conjuguée en question. Une surface réelle est donc l'enveloppe de ses conjuguées.

Les conjuguées d'un cône réel sont les cônes, de même sommet, ayant pour directrices, dans un plan quelconque, les conjuguées de la section du cône par ce plan.

Les conjuguées d'un cylindre réel sont les cylindres ayant pour directrices, dans un plan quelconque, les conjuguées de la section du cylindre par ce plan et leurs génératrices parallèles à celles du cylindre proposé.

7. Les conjuguées des surfaces du second degré sont d'autres surfaces du second degré, aisées à définir dans tous les cas.

8. Les conjuguées d'un lieuy(X,Y,Z)= o ont généralement une seconde enveloppe imaginaire, lieu des points du lieu où les rapports deux à deux des trois dérivées partielles fx-^f'y^fz sont réels.

En eiïet, les éléments du lieu/(X,Y,Z)=: o aux environs d'un de ses points {x^y^z) sont définis par

( '27 ) l'équation

ou

c est-a-dire

si m + 7z y/ — I et /? 4- ^ ^ — i sont respectivement les

valeurs de — ^ et ^> au point {x^y^ z).

Si Ton fait

dx = doL -h d^ / — I , dy = doL + d^' /^ ,

Fëquation précédente donne

da" =^ mdoL — nd^-hp da' — q d^' et

d^"— md^-¥- ndoL-hpd^'-^-q da';

d'où

dcxT-h d^" = (m -^ n) da -h(m — n) d^

+ (p^q)da'-^(p~q)d^\

c'est-à-dire

, (m -\- n) da-\-(m — n) dQ ,

da-h d^

( p H- q)da-\-(p — q) d ^' ^ "^ da'-^ d^'

dj'i

ou encore

da da'

Pour que le point [.r, j, z-\ appartint à l'enveloppe des

conjuguées, il taudrait que tous ces éléments fussent compris dans un même plan, qui serait le plan tangent à l'enveloppe au point [0:,^-, r]^ pour cela, il faudrait que dzi ne dépendit que de dXi et de dy^^ et, par conséquent, fût indépendant de ~ et de -t- • Cela exigerait les deux conditions

Il II

c'est-à-dire n = o et y == o.

Ainsi, tout point de l'une ou l'autre enveloppe est nécessairement tel qu'en ce point

soient réels.

Mais chaque conjuguée ne touche l'enveloppe imaginaire qu'en quelques points et non plus suivant une courbe. En elTet, les solutions des trois équations

f{^iy^^) = ^^ ^ = réel, ^=réel,

ou

Il l'on ferait a7 = a4-pCy/ — i, j =: (x! -\- ^C! \J — i.

2 = a"+ pC" y/ — I , seraient déterminées, puisque a, a', a" et P seraient liés entre eux par quatre conditions.

Exemples. — L'enveloppe imaginaire des conjuguées ellipsoïdales d'un hyperboloïde à une nappe

est rhyperboloïde à deux nappes supplémentaires

( '^9 ) lequel est fourni par les solutions de la forme

^2 yl ^2

de réquatioii - + -—--= i .

L'enveloppe imaginaire des conjuguées du4ieu

4 (^ a" l," /I~;y = ( r + r' Z^)^ est la sphère