II. — Intégrales algébriques de différentielles algébriques

26. Abel a montré le premier que, sil'inlégralez = / ~, U étant lié

à u par une équation algébrique F(a, U) -= o, est une /onction algébrique de a, cette intégrale s'exprime rationnellement au moyen de u et de U. Ce théorème peut s'établir très simplement.

Je disque^ si (/est une fonction algébrique de jz, m s'exprime rationnellement au moyen de z et de ^ — U. Soit/(w, s) = o l'équation algébrique, supposée irréductible, qui lie u et z. On en déduit

Donnons à z une valeur déterminée Zo, arbitrairement choisie. Pour une valeur convenable Uo attribuée à U, les deux équations

sont vérifiées par une même valeur Wo de u, et elles n'ont qu'une seule racine commune, en vertu de Tirréduclibilité de réquation/(a, s) = o. Il n'y a d'exception que pour certains couples, en nombre limité, de valeurs z^ et U«. Donc, d'après la théorie de l'élimination, u^ est une fonction rationnelle de^o ^t U©; et cette théorie fournit le moven d'obtenir l'expression rationnelle de u en fonction de z et de U.

De ce théorème d'Abel résultent des conséquences importantes. Nous en signalerons seulement une, qui est bien connue :

Si V intégrale u de V équation différentielle r(w, Uj = o est algébrique, la courbe représentée par V équation intégrale /[u^ z) = o est du même genre que la courbe représentée par r équation différentielle F(m, U) = o.

En effet, les coordonnées ueiz des points de la courbe/s'expriment rationnellement» d'après ce qui précède, en fonction des coordonnées £^ et U des points de la courbe F.

Réciproquement les coordonnées u et U des points de la courbe F s'expriment rationnellement en fonction des coordonnées u et z des points de la courbe/; en effet, on a

Ju

Gela étanl, il résulte d'une proposition connue (^)que les deux courbes /et F sonl du même genre.