Exemple IL — On donne l'équation
On voit que, pour les valeurs infiniment grandes de u, le rapport p tend vers zéro; les paramètres c sont tous nuls. Pour éludier les parafa) Œuvres complètes (édit. Sylow et Lie), t. I, p. io4 : Sur V intégration de la formule
dx diffe'reniielle "—-=• • • • 9 et t. Il, p. 189 : Théorie des transrendantes elliptiques, probl. IIÏ.
Âbel s'occupe aussi, en ces deux endroits, de la question inverse.
(>) Journal de lAouvUle, 1864. L'exposé de M. ZoIotarefT est dans le Journal de Liouville,
(*) Dans un Ouvrage en russe, analysé au Bulletin des Se. mat/iém.y p. 475-478 ; 1879.
mètres c^,il est commode de former Téqualion entre d et u\ puis on <lonne h u les valeurs qui annulent le radical et 2m*— i.
Résolvant par rapport à U l'équalion propo'^ée et différenlianl, on trouve
nu d (6M*-f- 5tt 4- 7)*
6m*-+-5//h-7 vV-f-4M»-h2w«H-i
Les valeurs de u qui annulent le radical rendent -, infini; par suite.
c;, est nul.
Pour les valeurs de u qui satisfont à Téquation 3a^— 1 = ou u^ = ^, on a
ou bien, en remplaçant u^ par ^,
c\ io-f-5a
Élevons au carré et chassons les dénominateurs
a5(4H-4a-4-a«)=ri6c;«a« ^"^,^'' .
Remplaçons encore a^ par ^, il vient
d'où Ton tire
Ces deux valeurs étant commensurables entre elles, l'intégrale u, si elle est bien déterminée, est simplement périodique. En effet, dans son remarquable Mémoire Sur Vintégration des différentielles qui contiennent une racine carrée dun polynôme du troisième ou du quatrième degré {*),
( * ) Journal de Lioimlle, iSSy.
38 L. RAFFY.
M. Tciiebichef a donné ce curieux exemple :
dx
De cette formule on déduit facilement que Tintégrale
est égale au terme logarithmique qui figure au second membre.
Cas ou l'intégrale u nest pas bien déterminée.
23. Nous avons donné au Chapitre I les trois types d'équation F(a, U) = o qui répondent aux trois théorèmes du n** 2 : le premier comprend toutes les équations dont l'intégrale est bien déterminée et a deux périodes; le second, toutes les équations dont l'intégrale est algébrique; le troisième, toutes les équations dont l'intégrale est bien déterminée et n'a qu'une période. Si donc on a à intégrer une équation qui ne rentre dans aucun de ces trois types, on sera certain d'avance que son intégrale n'est pas bien déterminée. Mais le théorème précédent ajoute aux conditions qui définissent le dernier type une condition de plus : il fait connaître un nouveau cas d'exclusion. Nous allons indiquer tous les cas d'exclusion qui résultent de ce théorème, en énumérant les divers cas qui peuvent se présenter dans son application.' Il est aisé de voir que ces cas sont au nombre de sept.
\^' CAS. — Les paramètres c et c\ sont tous nuls. 2* CAS. — Tous infinis.
Dans ces deux cas l'intégrale peut être bien déterminée.
3* CAS. — Les paramètres c et c^ sont tous finis et différents de zéro.
S'ils ne forment pas une suite de nombres tous commensurabics enlre eux, Tintégrale ne peut pas être bien déterminée : c'est un premier cas d'exclusion.
/|* CAS. — Certains des paramètres cet c^sont nuls, d'autres sont infinis. Ce n'est pas un cas d'exclusion.
5* CAS. — Certains des paramètres c et c^ sont nuls, les autres sont finis et différents de zéro.
Si ceux qui ne sont pas nuls ne forment pas une suite de nombres tous coMunensurables entre eux, c*est un deuxième cas d'exclusion.
6*^ CAS. — Certains des paramètres c et c\ sont infinis, les autres sont finis et différents de zéro.
L'intégrale ne peut pas être bien déterminée : c'est un troisième cas d'exclusion.
n^ CAS. — I^s paramétrés c et c\ sont les uns nuls, les autres infinis, les autres finis et différents de zéro.
L'intégrale ne peut pas être bien déterminée : c'est un quatrième cas d'exclusion.
Nous allons donner quelques exemples de ces règles d'exclusion.
Exemples des règles d'exclusion, 24. Exemple I. — Soit l'équation
U«(U*-Hi)— «'(M — i)* = o.
Les paramètres c\ sont tous finis et différents de zéro. Les panimètres c sont les racines de l'équation binôme c^— i =o. Mais une équation binôme ne peut jamais avoir ses racines commensurables entre elles, a moins qu'elle ne soit du second degré. Donc les c ne sont pas tous commensurables entre eux. C'est le premier cas d'exclusion.
Exemple IL — Soit l'équation
3() L. RAFFY.
Les paramëlres c sont tous infinis ; Tun des paramètres c\ est égal à r . (l'est le troisième cas crexclusion.
Exemple III. — Soit Téquation
L'un des c est nul, l'autre est infini; Tun des c„ est égal à —{, C'est le quatrième cas d'exclusion.
Exemple IV. — Soit l'équation
U(m — a) — {u — ^)(w — c)=zo.
L'un des c est nul; l'autre est égal à i.
Les deux valeurs de c„ sont , et ^ , » Si ces deux rapports ne
sont pas commensurables, nous sommes dans le deuxième cas d'exclusion.
Exemple V. — Soit l'équation
Tous les c sont nuls. Les trois valeurs de c„ sont
La somme de ces trois quantités est nulle. Mais, si le rapport 7-^
est incommensurable, nous sommes dans le deuxième cas d'exclusion. Nous avons emprunté les trois derniers exemples au second Mémoire de MM. Briot et Bouquet sur la théorie des fonctions {Journal de V École Polytechnique, XXXVP Cahier).
25. Exemple VI. ■— Legendre s'est occupé de l'intégrale remarquable z =: l T==' Clausen (*) l'a exprimée en termes finis.
M.Gûnther (^)a retrouvé par une autre méthode le résultat de Clausen.
( ') Jslronom, Nachrichten, n* 442. — Archiv der Math, ttnd Physik, \Y Part., p. 335. (» 1 Bulletin de la Snc. math, de France, t. X, p. 88 (3 mars 1882).
RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABËLIENNES. 3l
ConsidéroDs Téquation
ou bien
Tous les paramètres c sont nuls. A l'hypollièse U = o répondent les valeurs de u fournies par l'équation [u^ — i) (w' -h 8)^ = o. Aux trois poinls U==o, // = J/7, le paramèlrc c\ est nul. Cherchons ce qu'il <levient quand û^ est égal à — 8.
On a
if « ou
c du w "^ 1 it, \Ui^ — I
Chassons les dénominateurs et les irrationnelles : il vient
4;i*(//3— i) = [/Km3— 4) (w'— + 3 «'(«' + 8)]«c-'«.
Élevons les deux membres au cube pour n'avoir plus dans l'équation que des puissances de u?. Nous obtenons
Faisons m' = — 8 : les six valeurs cherchées de c^ seront les racines
de Téqualion
On voit que dans cet exemple, comme dans ceux des précédents où les cet c\ sont tous finis, Tégalilé le = lc\ a lieu. Ici nous avons une équation binôme. Ses racines ne sont pas commensurables entre elles. C'est le deuxième cas d'exclusion : l'intégrale u n'est pas bien déterminée.
L'artifice employé par M, Gûnther consiste à décomposer l'inlégralc en trois autres, en écrivant
r Z u^ du r \ U' — 2 w — 2 du ri u — i du
""*/ 2 (M»-^8)v/tt' — 1 j "~ 2 a>— 2aH-4y/ii^::r, J ^ u ^ i ^^r^T\'
^a L. RAFFY.
Si Ton coQsidëre séparément les trois équations
a(tt-h2)v/l/*-
on reconnaît sans peine que chacune d'elles vérifie les conditions propres au cas où l'intégrale -£/ est bien déterminée et n'a qu'une période.
