Passons à la détermination des intégrales algébriques

Étant donnée une équation F(a, U) = o, on reconnaît qu*un au moins des paramètres c et c^ est infini, et qu'aucun d'eux n'est fini et différent de zéro. Si l'intégrale est bien déterminée, elle ne peut être qu'algébrique. Est-elle algébrique? Telle est la question qu'il s'agit de résoudre.

Pour que l'intégrale soit algébrique, il faut et il suffit que la fonction

inverse 2 = / ^^ n'ait aucune période. Mais ce critérium ne parait

applicable qu'à des équations particulièrement simples.

On est donc réduit à supposer qu'il existe une relation algébrique à coefficients indéterminés entre u et z, et l'on cherche à déterminer ces coefficients de manière à vérifier l'équation différentielle. Liouville a publié sur ce sujet deux Mémoires, qui ont paru dans le Recueil des Savants étrangers, t. V (i838) et dans le Journal de V École Polytechnique (XXII* Cahier). Puis, dans une Note insérée aux Comptes rendus de r Académie des Sciences (août 1837) et reproduite au Tome III de son Journal, il a ramené la question à la résolution d'un système d'équations linéaires.

On peut, en supposant l'intégrale algébrique, trouver directement soit l'ordre de la courbe intégrale/(w, 2)= o, soit les exposants des plus hautes puissances de z et de u qui figurent dans cette équation. M. Zeuthen (*) a indiqué le moyen de déterminer l'ordre de la courbe

(») Clbbsch, Leçons sur la GéomëtriCy édit. française, l. II, p. 170. {») Comptes rendus de V Académie des Sciences, 1880, t. XC, p. 1114.

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intégrale; sa méthode exige que Ton sache distribuer en systèmes circulaires toutes les valeurs de U qui deviennent nulles pour des valeurs finies de u.

MM. Briot et Bouquet [Fonctions elliptiques, p. 218 et suivantes) donnent un moyen d'évaluer l'exposant de la plus haute puissance de u qui figure dans Téqualion intégrale. (Quant au plus haut exposant de Zy il est égal au plus haut exposant de U dans l'équation a intégrer.) Mais leur méthode exige que l'on sache distribuer en systèmes circulaires les valeurs de U qui deviennent nulles pour des valeurs finies

de u et les valeurs de V = ^ qui deviennent nulles pour t; = ~ = o.

On peut obtenir, par des opérations purement arithmétiques, le degré de l'équation intégrale par rapport à u.

28. Théorème. — Si l'intégrale u d'une équation différentielle algébrique F( w, U) = o est elle-même algébrique, le degré de l'équation intégrale par rapport à u est égal au nombre des valeurs finies ou infinies de

u qui satisfont à la fois aux deux équations ^ = oc «/ ^, = 00 •

Étant donnée une équation algébrique entre u etz, le degré de cette équation par rapport à u est égal au nombre des valeurs de u^ tant infinies que finies, qui répondent à une valeur quelconque de z. Pour cette valeur nous choisirons 5 = oc . Nous continuerons à désigner par

c' la dérivée ^> et nous conviendrons de représenter par c le rapport

T7) quelles que soient les valeurs de u et U.

Soit donc z infini. Supposons d'abord u fini : puisque l'intégrale

-|^ est infinie, U est nul. Les p racines d'un des systèmes circulaires formés par les valeurs de u qui correspondent à z = qo sont représentées par un développement tel que celui-ci :

d'où

D'après cela, le rapport TT est infini avec z : ainsi Ton a c„ = oo . Si h n'est pas nul, il est clair que le rapport c = tt est infini ; si h est nul, c étant égal a ~Z est encore infini.

Réciproquement, si les deux rapports ^ ^t^ sont infinis pour une

valeur finie de u, z est infini. En effet, il résulte de nos hypothèses que U est nul. Si z était fini, on aurait

u — 6 =:/i(5 — a)«*4-. . ., (îJ^>o), U = {x/i(5 — a)î'->-f-..., ({JL>i);

le rapport T7 ; au lieu de devenir infini pourz = a, tendrait verszéro.

On montrera de même que, quand z est infini, si u est infini, les deux paramètres c et c' sont infinis; et réciproquement, que si ces deux paramètres sont infinis en même temps que u, z est infini aussi. Donc, pour que z soit infini, il faut et il suffit qu'on ait à la fois

Revenons aux formules écrites plus haut. Si h n'est pas nul, on en tire

Pour c'=r:> tp valeurs de u deviennent égales à b; pour c= co ,p-^ q valeurs de u deviennent égales à 6 : au système circulaire considéré correspondent àoncp valeurs de u égales à 6 et qui vérifient à la fois les deux équations c = oo , c'= oo . Si 6 est nul, on trouve

d'où la même conclusion. Les mêmes raisonnements s'appliquant au cas oii u est infini, le théorème est démontré.

Règle. — On formera les deux équations entrée et u et entre c et u. On fera c= 30 ,c'= ao . Le nombre des solutions communes, finies ou infinies, des deux équations ainsi obtenues est égal au degré cherché.

29. Corollaire. — Le degré par rapport à u de l'équation intégrale

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est au plus égal au degré par rapport à e/ de l'équation entre c et u^

Or cette équation est Ff m, - j = o. Son degré par rapport à u est au

plus égal à Tordre de la courbe F(a, U) = o. Ainsi le degré cherché est au plus égal à r ordre de la courbe représentée par l'équation à intégrer.

Remarque. — Avant de donner des exemples, nous signalerons un cas où Ton connaît sans calcul Tordre de la courbe intégrale : c'est celui où tous les paramètres c^ sont nuls.

Dans ce cas,£/ ne peut pas être fini pour des valeurs infinies de z; car, en vertu de la démonstration qui vient d'être faite, c^ serait infini. On

ne peut pas supposer non plus que, u et z étant infinis, ^ = U soit

nul : car, si u est infini et U nul, le rapport ( ^ït) =^o ^^t nécessairement infini.

En conséquence, aucun des coefficients angulaires des directions asymptotiques de la courbe intégrale n^est nul. Dans Téquation intégrale/(M, z) = o, le terme du plus haut degré en z a pour coefficient une constante : sans quoi un au moins des coefficients angulaires des directions asymptotiques serait nul. De plus Tordre de la courbe intégrale est égal au degré fx de son équation par rapport à z : car, si cet ordre était supérieur a |jl, les termes du degré le plus élevé de Téquation contiendraient nécessairement en facteur une puissance deu, et un au moins des coefficients angulaires des directions asymptotiques serait nul.

Ainsi, dans ce cas. Tordre de la courbe intégrale est égal au plus haut exposant fx de la variable U dans Téquation à intégrer.

Exemples de la détermination du degré de Inéquation intégrale

par rapport à u.