Exemple I. — Soit Téquation différentielle

(4 — u^) U*-h 4(2 tf» -H i) U -h a»(2 M» -h i) = o.

Le terme de degré le plus élevé étant le terme ^u^, les paramètres c sont tous nuls pour les points de la courbe situés à Tinfini.

Gomme nous connaissons les valeurs de u qui répondent à la valeur U = o, nous pouvons, pour étudier les paramètres c^, former Téquation

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES. i']

entre & et a, au lieu de former celle entre c et U. De TéquatioD proposée on déduit

d'où

, I rfU —54m* 3u^ i4(i+m») — m»

^-c'-rf« -(4 -«»)'"*■ (4 -«»)« y/au» -H,

Pour u = o, on a, soit a = o, soit 2a' -h i = o. Pour m = o, il est visible que y est nul : c^ est infini. Pour les trois racines de Téquation 2u^ + I = o, 7' est infini : c^ est nul.

Donc, si l'intégrale est bien déterminée, elle ne peut être qu'algébrique.

Cherchons le degré par rapport à u de Téquation intégrale.

Faisons dans l'équation proposée u=c\]j ou bien u = —y d'où U= 7a : il vient, après suppression du facteur commun a,

( 4 — tt* ) Y* w -+- 4 ( 2 «* H- I ) Y H- a- (2 «' -h I ) = o.

Pour 7 = 0, cette équation se réduit à

Quant à l'équation entre 7' et ii, si l'on y fait y = o, puis qu'on chasse le radical, on obtient

On voit immédiatement que les équations (i) et (2) n'ont d'autres racines communes que deux fois la racine u = o. Donc, si l'intégrale u est algébrique, l'équation intégrale est du second degré par rapport a u.

En effet, l'intégrale u est donnée par l'équation m^z*— 2{z-hu)'= o.