Exemple IL — Soit l'équation

Faisons U = yu. Cette équation devient

OU bien

38 L. RAFFY.

Pour 7 = Oy ses quatre racines sont les racines de Téquation

Différcnlions l'équation proposée, et faisons y = ^ : il vient Éliminons U entre cette équation et la proposée : nous trouvons

OU bien

Pour 7' = Of les six racines de cette équation sont celles de Téquation

{•>.) «'(2 — 27M'):=iO.

Les équations (i) et (2) n'ont qu'une seule racine commune, savoir n = o. Donc, si l'intégrale est algébrique, elle est rationnelle. Effectivement l'équation intégrale est

Cet exemple est emprunté au troisième Mémoire de MM. Briot et Bouquet sur la théorie des fonctions {Journal de l'École Polytechnique, XXXVI* Cahier).

Exemple III. — Soit l'équation

2aU' — 3 £*•-+- 1 = 0.

Faisons U = yu. Cette équation devient

2 7' a* — 3 y' tt* 4- 1 = o.

Pour 7= o, elle admet quatre racines infinies. L'équation entre /= -^ et r= - est la suivante :

ou bien

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTEGRALES ABÉLIENNES. Sq

Pour 7'=o, cette équation admet quatre fois la racine s^ = o. Ainsi les équations 7 = 0, ^' = ont en conomun quatre racines infinies. Donc, si Téquation intégrale est algébrique^ elle est du quatrième degré par rapport à u. Effectivement, cette équation est

Cet exemple est cité par MM. Briot et Bouquet {Fondions elliptiques^ p. 220).

32. Application. — Nous allons appliquer les principes précédents à l'étude de la fonction inverse de Tinlégrale elliptique de seconde espèce. Désignons cette fonction par u : elle satisfait à Téquation différentielle

ou bien

On voit que les directions asymptotiques de la courbe représentée par cette équation sont parallèles aux axes coordonnés. Les paramètres c sont nuls ou infinis. En conséquence, Tintégrale u^ si elle n'a en chaque point qu'un nombre limité de valeurs, est une fonction algébrique. L'équation qui lie u et z est du second degré par rapport à z. Cherchons son degré par rapport à u.

Posons U = yu : il vient

Cette équation, du sixième degré par rapport à Uj donne pour 7 = quatre valeurs finies et deux valeurs infinies de u.

//ÏT

Formons l'équation entre u et 7'= ^- L'équation a intégrer peut s'écrire

d'où résulte

4o L. RAFFY.

MettODS cette équation sous forme entière,

«•(i — «•) (i — it«w«)Y'*— [(i -h Ar*)a*— 3]»z= o.

Elle est du dixiënie degré par rapport à u. Pour 7^=0 elle doune quatre valeurs finies et six valeurs infinies de U. On voit immédiatement qu'aucune des valeurs finies de u qui rendent 7 nul ne peut annuler 7'» à moins que k^ ne soit égal à 1. Ce cas étant exclu, les équations 7 = 0, 7'= o n'ont en commun que deux solutions, savoir deux valeurs infinies de u.

Le degré de l'équation intégrale par rapport à u est donc :i. Celle équation peut s'écrire

A, B, C désignant trois polynômes entiers en a, de degré inférieur ou égal à :2. On en tire

^B + y/B*— AC-

Prenons la dérivée par rapport à u

1 dz BX' — AB' 2B(BA ~AB )M-A(AC-CA) V du^ A* 2 A* v^B*— AG

Pour que le second membre pût être égal à , > il fau-

drait d'abord que BA'— AB' fût nul, c'est-à-dire que B fût égal à XA, X désignant une constante. Il resterait alors

dz AC - C A'

du 2Av/Av/X*A-C

Or, pour u infini, , n'est pas nul, tandis que