III. — Intégration des équations du genre zéro
33. Le cas où réqualioD à intégrer est du genre zéro a acquis une importance spéciale, par suite d'une remarque fondamentale que Ton doit à M. Uermite (*).
M. Hermile a montré que : Si l'intégrale u est uni/orme et doublement périodique, la courbe F = o est du premier genre; si Cintégrale est uniforme et rationnelle ou simplement périodique, la courbe Y = o est unicursale,
M. Picard a donné depuis (*) une proposition qui comprend celle-là : S* il existe une relation algébrique entre deux fonctions uniformes de la variable z, sans autre point singulier essentiel que le point s = oc , cette relation ne peut être que du genre zéro ou du genre i .
Mais la démonstration de M. Hermite ne s'applique pas seulement aux fonctions uniformes. EUe prouve aussi que, s'il existe une relation algébrique dp genre zéro entre la fonction u et la variable 2, ou bien
entre u et une exponentielle e\ l'équalion différentielle entre u et U est du genre zéro. La proposition de M. Hermite comporte donc des réciproques de deux types différents : réciproques relatives aux intégrales uniformes, réciproques relatives aux intégrales non uniformes.
Nous traiterons à part, dans le Cbapitre suivant, les intégrales uniformes. Nous nous bornerons ici à examiner les équations du genre zéro, nous proposant de reconnaître si l'intégrale est bien déterminée, et de l'obtenir quand elle l'est.
Quand l'équation différentielle F(a, U)=o est du genre zéro,
/** du "Yj- n'a d'autres périodes que des périodes polaires;
la fonction inverse u, si elle est bien déterminée, ne peut avoir plus d'une période. D'où deux cas, suivant que l'intégrale est algébrique ou simplement périodique.
Le cas où l'intégrale u est algébrique vient d'être étudié en général.
[^) Cours autographié de l'École Polytechnique, 1873. — Procecdingx of the London math, Society, t. IV, 1873.
. - ) BuUetin des Sciences mat hé m,, 1880.
/|2 L. RAFFY.
On pourra aussi, après avoir exprimé ralionnellement les coordonnées// et U en fonction d'un paramètre /, obtenir, parla mélhode de M. Her-
mite(*), la partie algébrique de l'intégrale jz = /-ït = f fFj)^^' ^^"' que l'intégrale usoit algébrique, il faut et il suffit que la dilTérentielle de cette partie algébrique de z soit exactement égale à ^^rjrdt.
Il reste à traiter le cas oii Téquation F (a, U) = o vérifie les conditions nécessaires pour que l'intégrale puisse è(re bien déterminée et simplement périodique. ^
3i. Théorème. — Étant donnée r équation différentielle F(tt, U) = o, SI cette équation est du genre zéro, et si les paramétres c et c\ sont tous finis et tous commensurahles entre euxy l'intégrale u est racine d*une équation algébrique dont les coefficients sont des fontions entières dune
exponentielle e\
Les nombres c et c. étant tous commensurables enlre eux, il existe un nombre ^tel que les quotients des c eic^ par ce nombre soient des entiers positifs ou négatifs sans diviseur commun. Considérons l'intégrale
Cette intégrale n'a d'autres périodes que des périodes polaires, puisque l'équation F(a, U) = o est du genre zéro; et nous avons vu au n** 7 que ces périodes polaires sont égales à des multiples enliers des quantités 2inc et 2inc\. D'après la définition de p, l'intégrale
p"7J "ET
n'admet que des périodes polaires, qui sont des multiples entiers de 2 in; et si p. est le degré par rapport à U de l'équation F(a, U) = o, cette intégrale a en chaque point fx valeurs, augmentées de multiples quelconques de 2i7r.
(*) Cwrs d^ Analyse (imprimé), p. a65 et suit.
En conséquence, la fonction e^*' " n*a en chaque point que (x valeurs distinctes. De plus, cette exponentielle n'est infinie que quand son
exposant - est infini ; mais les paramètres c et c^ étant tous finis, les
infinis de z sont tous des points singuliers logarithmiques simples (réciproque du théorème II du Chap. I) : en ces points on a donc
5 = c'o L ( M — 6 ) -h . . . , si // est fini
ou*bien
5=:c L «-h. . ., si // est infini.
Les rapports — et - étant des entiers, Texponentielle e^ est de Tordre
d'une puissance entière de a — 6 ou de u. Elle n'est donc infinie que quand u est infini : le point u = x> est, soit un pôle proprement dit de cette fonction, soit un point critique algébrique en même temps qu'un pôle. Quant aux points critiques pour lesquels 2 est fini, il suffit
de développer e^ en série pour reconnaître que ce sont des points critiques algébriques de cette fonction.
De ces trois propriétés de la fonction e^ il résulte que cette fonction est une fonction algébrique de w(* ).
Le théorème est ainsi démontré.
35. Autre démonstration. — Le théorème qui précède peut aussi s'établir au moyen d'un lemme qui est évident.
Lemme. — Pour que Vintcgrale d'une différentielle rationnelle yj— dt
ne contienne pas départie algébrique et s'exprime par un seul logarithme ayant pour argument une fonction algébrique fie t, il faut et il suffit : I " Que le polynôme o[t) soit d'un degré moindre que le polynôme f[ t ) ;
2** Que la fraction ^ nait que des infinis simples;
3® Que tous ses résidus soient commensurables entre eux.
Cela posé, soit n l'ordre de la courbe F(a, U) == o, supposée unicur-
(M Briot et Bot'QiET, Fonctions elliptique s , p. 216.
44 L, RAFFY.
sale. Les coordonnées d'un point de celte courbe s'expriment rationnellement par les formules
^, / et 6 étant trois polynômes du degré n en /; ces trois polynômes sont premiers entre eux, mais pas nécessairement premiers deux a deux. En posant
on trouve, par un calcul facile,
Je ne fais qu'indiquer la marche à suivre pour reconnaître que cette difTérenlielIe vérifie les conditions du lemme ci-dessus.
1° On voit que le numérateur de -^ est du degré 2/1 — 2 au plus et
son dénominateur du degré un.
2" De ce que les paramètres c et c\ sont tous finis, on déduit que les polynômes ô et ;^ sont premiers entre eux et que toute racine multiple d'ordre m de l'un de ces polynômes est racine d'ordre m — i au moins
du numérateur Q^' — Q'^\ en sorle que la fraction -^ n'a que des infinis
simples.
3^ Le résidu A relatif à une racine simple a du polynôme ô est égal
à — ( ^) = — c. Si a est racine d'ordre a du polynôme 5, le résidu
correspondant est égal à — «(-n) =— ac. De même le résidu B relatif k la racine 6, supposée racine d'ordre ^ du polynôme ;(, est égal à ^(^ j = |3c^. Les nombres a et ^ étant des entiers et les paramètres c et c\ étant tous commensurables entre eux, les résidus A et B sont aussi tous commensurables entre eux.
36. Voici comment on obtiendra l'équation intégrale. A toute racine finie et différente de zéro de l'équation aux paramètres c répond au moins une racine a de l'équation $ = 0, qui est en même
dz
temps un infini simple de ^* Si cette racine a est racine d'ordre a,
l'équation aux paramètres c admet a fois la racine e, et le résidu correspondant pour ^ est — ac, tandis que, si a est racine simple, ce
résidu est — c. D'ailleurs il peut arriver qu'à une autre racine a,, différenlc de a, corresponde la même valeur de c. D'après cela, la somme des résidus  est exactement égale a la somme, changée de signe, des racines c multipliées chacune par son ordre de multiplicité, c'est-à-dire à la somme changée de signe des racines de l'équation aux paramètres c.
On verrait de même que la somme des résidus B est exactement égale à la somme (prise avec son signe) des racines de l'équation aux paramètres c^ .
Nous avons appelé p le plus grand diviseur commun à tous les nombres de la suite formée par l'ensemble des paramètres c et c^, : p est un nombre entier ou fractionnaire, incommensurable ou même imaginaire, tel que chacun des c soit de la forme c, = &ip^ et chacun des Cq de la forme (c^), = (J)|9, les ai et 5- étant des entiers positifs ou négatifs qu'aucun entier ne divise tous à la fois; plusieurs peuvent être égaux entre eux.
Soient C| = pp^ , c^ = pp^y ... les h valeurs de c pour lesquelles $,• est positif.
Soient c;^+, = — p/i,, Ch^^= — pn^^ ... les k valeurs de c pour lesquelles î/ est négatif.
Soient [cjt = pp\, {co)2 = pPi* ••• les A' valeurs de c^ pour lesquelles 5'i est positif.
Soient (c,,)v+i = — pn\, (c„)y^2= — pn^, . .. lesA:' valeurs de ç^ pour lesquelles d^est négatif.
Tous les nombres /?,, p^, . .,^ n^^ Wj» • • • » p\9 p^* • • • » ^i» ^a» • • • sont entiers et positifs, et premiers entre eux. Il est clair que Tintégrale z s'exprimera en fonction de / de la manière suivante :
z.:=z—\ppiL{l — ai) -h\pniL{t — au^-i)
t= 1 ist
^pp'iL(t-bi)-'\pn'iL(t-b„r^i).
46 L. RAFFY.
Le même terme peut se répéter plusieurs fois au second membre. On peut encore mettre cette équation sous la forme
(t — ai)Pi {t - a,)P* . . . (i — ^>v-Hi )"« {i — ^a'-hO"'" • • •
On voit que le numérateur est un polynôme du degré 2/i/4- 2/7-, h dénominateur un polynôme du degré 2/i--4-2/>/. En vertu d'un théorème démontré au n^ 13, on a
égalité qui résulte aussi de ce que le résidu intégral de la fraction
dz
rationnelle ^ est nul. Or nous avons ici d*où résulte la relation
La fraction rationnelle qui représente e^ a donc ses deux termes du même degré N; et ce degré est connu, puisque tous les nombres/; et n sont connus. Mais il peut arriver, comme on le verra bientôt sur un exemple, que cette fraction rationnelle soit une puissance exacte d'une autre fraction rationnelle à termes de degrés moindres. Pour obtenir directement la fraction la plus simple qui puisse représenter l'exponentielle cherchée, nous supposerons qu'on ait exprimé rationnellement les coordonnées a et U de la courbe F(m, U) = o.
