Reprenons les formules

~ 6(0* dz ~ 0(0

données plus haut. On en déduit

dt '~^ V dt '^ ^X

C'est cette équation qu'il s'agit d'intégrer, sans connaître les racines du dénominateur : car il peut se faire qu'on ne sache pas les obtenir. Rien n'est plus facile que de faire disparaître les facteurs com-

muns au numéraleur et au dénominateur (recherche du plus grand commun diviseur). Nous allons donc résoudre la question en supposant que la fraction considérée ait ses deux termes premiers entre eux.

Soit ^ cette fraction. Puisque Ton connaît les deux polynômes 6<, ^t

qui ne sont autre chose que les polynômes d et x siprcs suppression

d'un certain nombre de facteurs binômes, on sait mettre la fraction t-^

sous la forme s^ -4- ^•

^1 Xi

Considérons la fraction ^- Puisque toutes les racines a de son dénominateur sont distinctes, ses résidus auront pour valeurs les diverses valeurs que prend le rapport ^^À quand on substitue a / successivement les diverses racinçs de l'équation 0, == o.

Or nous connaissons ces résidus, ou du moins une suite de nombres parmi lesquels figurent tous ces résidus : en effet, les racines simples de l'équation aux paramètres c sont des résidus de cette fraction; et si c, est une racine quintuple, par exemple, de cette équation, certains des nombres C|, 2C^f 3c,,4<?i» 5c, seront des résidus.

Soit c l'une des racines simples de l'équation aux paramètres c. Posons

Ôo(0