OUO

et cherchons les racines communes à cette équation et à l'équation $,(/) = o : il n'y en a qu'une. Nous séparerons ainsi un à un lei^ divers facteurs binômes de d|(/) auxquels correspondent les racines simples de l'équation en c.

Posons ensuite

c^ étant racine d'ordre m de l'équation en c, et cherchons les racines communes k chacune de ces équations et a l'équation Q^[t) = o. En opérant de même pour chacune des racines distinctes de l'équation enc, nous décomposerons, en appliquant plusieurs fois le procédé de recherche du plus grand commun diviseur, le polynôme $,(/) en un

48 L. RAFFY.

produit de facteurs de la forme

les divers facteurs 3^ étant tels qu'à toutes les racines de chacun d'eux correspond le même résidu — ac. Ces facteurs S pourront être encore de degrés trop élevés pour qu'on sache trouver leurs racines; mais nous n'avons pas besoin de les connaître.

On sait mettre la fraction r^ sous la forme

MO ^iÇO , ^^(0 . . ^M

Chacune des fractions qui figurent au second membre jouit de cette propriété que tous ses résidus sont égaux entre eux, et différents des résidus des autres fractions. 11 est aisé de prouver que chaque numérateur w est d'un degré inférieur au degré du dénominateur correspondant &, et n'a aucun facteur binôme commun avec lui. D'après cela, chacun des numérateurs Tzr est, à un facteur constant près, la dérivée du dénominateur correspondants^. En effet, si l'on a

a,,'a^, . . ., a/ étant les racines de l'équation &(/) = o (qui sont toutes ditTérentes), il en résulte nécessairement ts{i) = C5'(^).

. Ainsi la fraction irrrrest mise sous une forme qui la rend immédia-

tement intégrable.

En effectuant au moyen des paramètres c'^^ les mêmes opérations sur la

fraction ^^tt' on la mettra aussi sous une forme qui la rendra immé-

Xi(0 *

diatement irilégrable.

Finalement, l'exponentielle c' sera exprimée en fonction de /, de la manière suivante :

les lettres A etB désignant des polynômes entiers en/, tous connus, et lésa, |3 des multiples positifs du nombre appelé précédemment /9. Mnis

il pourra arriver que p ne soit plus le plus grand commun diviseur de ces exposants ; soit p' ce nouveau plus grand commun diviseur : posons

il vienl

A!'A<... Aï*

Les deux termes de la fraction rationnelle sont du même degré : ce

degré est —r> N étant défini comme plus haut. On n'aura plus qu'à

éliminer / entre les équations qui donnent u et e^, pour obtenir l'équation intégrale.