Exemple. — Intégrer V équation

2'ju{u — U )' — ( i U — 3 w )' =r o.

L'équation est du genre zéro.

Les quatre valeurs de c sont c = o, c'=:i,c=r,c=i.

Les quatre valeurs de c^ sont c„ = i , c^ = |, c^ = |, c^ = |.

Ces nombres sont tous commensurables entre eux ; leur plus grand

commun diviseur p est égal à -j. Par suite, les résidus de ^ ont pour

valeurs 3/9, 2p, ap, ap ; — 3p, — 3p, — 3/9.

Le nombre appelé plus haut N est ici égal à 9 : Texponenlielle e'' est représentée par une fraction rationnelle ayant ses deux termes du neuvième degré.

Les coordonnées de la courbe F(w, U) = o sont exprimées par les formules

^^ I (3^50» ^^ t(3--5ty

On en déduit

dz i du 3{t — I )

de U dt f(3 — 50(1 — 20

Le facteur i — 3/ représente 6^ ; le produit /(3 — 5/) représente ;^,.

OO L. BAFFY.

On a

dz 3(< — i) 6 3(5/- i)

rit ~ (i— 2/)x/(3— 50~ i—2l "*" t{5t — 3)'

ou bien

dt t — \ ^(^ — I)

La première fraction r^ est immédiatement inlégrable. Les résidus

relatifs à la seconde sont, parmi les nombres, i, -?, ^, ^. Posons

Cette équation fournit une seule valeur de /, / = o, qui est racine de l'équation /, =o.

En égalant la fraction ~^ successivement à | et à |, on obtient des valeurs de / qui n*annulent pas ;(, . Posons

2/ — I 3 On trouve / = |» valeur qui annule /,. D'après cela, on a

Il vient

dz 3 I 2

d'oui en désignant par C une constante arbitraire,

La nouvelle fraction rationnelle n'est plus que du troisième degré. L'équation intégrale est {e^ — m)' — u^ = o, en prenant C = — |^.

39. Nous terminerons ce Chapitre par deux indications générales sur les intégrales bien déterminées qui n'ont qu'une période.

Si l'intégrale u de l'équation F (m, U) = o est bien déterminée et n'a qu'une période, le degré de l'équation intégrale par rapport à l'expo-

nenlielle qui y enlre est égal au degré fi de l'équation F(a, U) = o par

-rr, définie par celte

équation, a en chaque point ju. valeurs distinctes, abstraction faite des périodes.

Théorème. — Si r intégrale u de i équation différentielle F(a, U) = o

est fonction algébrique d* une exponentielle X =^ ^ ^ la courbe représentée par l'équation intégrale f[u^ ^r) = o est du même genre que la courbe représentée par V équation différentielle F(a, U) = o.

-Tv-> où U désigne une fonction algébrique

de w, s'exprinne au nrioyen des fondions algébriques et logarithmiques, elle est de la forme

■« = Zq-h Al LZj -{- A2LZ2 -h. . . -h ArtLZft,

les A désignant des constantes qui, prises deux à deux, ne donnent que des rapports irrationnels, et les Z des fonctions rationnelles de u et de U. Cela résulte des travaux d*Abel.

Pour que l'intégrale u soit bien déterminée et simplement périodique, ' il faut et il suffit que tous les A soient nuls, sauf un, et que Zo soit nul identiquement. La relation précédente se réduit à

d'où

Eliminons U entre les deux équations

et %iÀ\f\u,x) == o l'équation résuUante. Les deux courbes /et F dépendent l'une de l'autre d'une façon spéciale. On a en effet

c'est-à-dire que les coordonnées des points de la courbe /sont des fonctions rationnelles de celles des points de la courbe F. Réciproquement, un procédé fourni par la théorie de l'élimination permet do

i>2 L. RAFFY.

déduire des deux équations F(//,U) =o, <p(M, U) — a? = o, l'expression de U en fonction rationnelle de u et de x. On aura

Les coordonnées des points de la courbe F sont des fonctions rationnelles des coordonnées des points de la courbe /. En vertu d'une proposition rappelée au n^ 26, ces deux courbes sont du même genre.