I. — Détermination du genre d'une courbe algébrique
40. La notion de genre est due à Riemann (*). Elle a été introduite par Clebsch (*) dans la théorie des courbes et n'a pas moins d'importance en Géométrie qu'en Analyse. En Géométrie, la définition précise du genre d'une courbe à singularités supérieures présente des difficultés sérieuses. Elle a donné lieu à d'importants travaux, qui sont résumés dans les Leçons de Géométrie de Clebsch (t. IF, Chap. I).
En Analyse, le genre de la fonction j définie par une équation algébrique /(a?, y) = o, ou le genre de la courbe représentée par celte équation, est le nombre des intégrales abéliennes de première espèce
ç(a7,j)ûtz? relatives à réqualion/(a?,y) = 0. Cette définition n'est
pas identique à celle adoptée par Riemann, mais elle lui est équivalente ('). De cette définition on déduit très facilement que, si deux
(» ) Théorie der Jbelschen Functionen (Journal de Çrelle, t. 54). (») Journal de Crelle, l. 63 et 64.
(») Cionsulter, sur ces questions, la Thèse de doctorat de M. Simart : Commentaire sur deux Mémoires de Riemann ( 1 882) . »
courbes algébriques se correspondent point par point [c'est-à-dire si les coordonnées de tout point de l'une sont des /onctions rationnelles des coordonnées d'un point de l'autre), ces deux courbes sont du même genre. Cette proposition, que nous avons invoquée précédemment (n*^* 26 el«39), a de nombreuses applications géométriques. En outre, elle permet d'énoncer, sans aucune restriction, le théorème suivant, qui est capital, et que Riemann a découvert:
Théorème ( * ). — Étant donnée une équation algébrique f{x , jr) = o, irréductible et de degré m par rapport à j, le genre de la fonction j, définie par cette équation y est égal à la demi-somme des ordres des points de ramification de cette fonction , diminuée de m — i.
En d'autres termes, le genre est égal à la moitié du nombre des lacets binaires relatifs aux points critiques de la fonction y , diminuée de m — \ ,
Désignons par p le genre, par N le nombre des lacets binaires. Le théorème précédent s'exprime par Tégalité
qu'on peut écrire
en désignant par rie nombre des racines/ qui forment l'un des systèmes circulaires relatifs à un point critique de la fonction y. Cette relation a lieu, quelles que soient les singularités de la courbe/(a?, j) = o : la sommation indiquée au second membre s'étend à tous les points critiques de la fonction j^, tant à ceux situés à l'infini qu'à ceux situés à distance finie, et k tous les systèmes circulaires formés par les valeurs finies ou infinies que prend j^ en chacun de ces points critiques.
D'après cela, la détermination du genre d'une courbe algébrique revient à celle du nombre 2(r — i). Nous allons exposer une méthode qui permet d'obtenir ce nombre 2(r — i), et par suite le genre/?, sans qu'il soit nécessaire de connaître les points critiques de la fonction v, ni les valeurs qu'elle prend en ces points.
(^) Voir la Thèse de M. Simart (n*" 71 à 83) et la démonstration de M. Eliiol, reproduite dans la Tliéorie des fonctions nh^liennes de M. Briot.
54 L. RAFFY.
41. Cette méthode consiste à ramener le problème proposé au problème suivant, que nous allons résoudre :
Etant donnée une équation algébrique irréductible f[x^ y) =^ o^ on sait que pour x =^a plusieurs valeurs finies de y deviennent égales; on ne connaît ni leur nombre ni leur valeur commune : on demande combien de ces valeurs sont des fiynctions non uniformes de x aux environs du point X = a.
Désignons par b la valeur inconnue des racines y qui deviennent égales au point x = a. Les racines j^, qui ne sont pas uniformes aux environs de ce point, se distribuent en systèmes circulaires dont chacun est représenté par un développement tel que
Ç-hi V-Ht
yz=i b-hh{x — ay-h/ii{jc — a) f -\- li^{x — a) f -f-...;
/? est le nombre des racines qui composent le système circulaire : c'est un entier au moins égal a a; y est un entier positif quelconque, qui peut être un multiple de/?. Certains des coefficients A,, h^, ...peuvent être nuls, de sorte que le développement peut commencer par plusieurs termes à exposants entiers; mais il contient nécessairement un terme au moins à exposant fractionnaire irréductible de dénominateur p, et il peut contenir des termes à exposants fractionnaires
irréductibles dont les dénominateurs soient des sous-multiples de p.
Soit h'[x — aY' celui des termes à exposant fractionnaire irréductible
qui a le plus petit exposant, et soit /Xf le plus petit entier supérieur
à — • Prenons les dérivées d'ordre jtx, des deux membres de l'égalité
îi précédente; les termes qui précèdent le terme en [x — aY' forment
un polynôme entier de degré au plus égal à fx, — i : la dérivée
d'ordre /Xi de ce polynôme est nulle, et il reste
^ = A^(a;-ar ^ h\{x -- ay^ ' h-...;
par hypothèse, l'exposant — — /x, est négatif : la dérivée -j^ est infinie pour x =^a, ainsi que toutes les dérivées d'ordre supérieur
à fjLi; toutes les dérivées d'ordre inférieur à |x, restent finies pour
X = a. Supposons formée l'équation qui lie x et ^-^ : pour ;r = a,
cette équation aura p racines infinies, puisque le développement de
j-j^ a, comme celui de j, p valeurs en chaque point.
Supposons qu'il y ait un autre système circulaire de racines nulles pour a? = a; soient p' le nombre des racines de ce système et [i^ le plus petit entier supérieur au plus petit exposant fractionnaire qui figure dans son développement : jjl^ sera, par exemple, égal a 3, et jx, égal
h 2. Si Ton forme l'équation entre x et ~' c^t^c équation aura
p racines infinies pour ;r = a et pourra n'en avoir que /?, tandis qu'il y a au moins p -h p' racines v qui ne sont pas uniformes aux environs
du point x= a. Au contraire, si l'on forme l'équation entre x et -t^>
cette équation aura au moins /> -♦-/?' racines infinies pour x = a. Nous allons assigner un nombre entier k tel que le nombre des
racines infinies que Téqualion entre x et -7-^ admet pour x = a soit
exactement égal au nombre des racines y qui ne sont pas uniformes aux environs du point x = a.
42. Lemme. — Soit /{x, y) = o une équation algébrique irréductible du degré m en y; soit
le discriminant de cette équation; soit x = a une racine d'ordre a de ce discriminant, et soit k le plus petit entier supérieur à -• On /orme Véqua-
tion qui lie x et -r-^ • 5/, pour a? = a cette équation admet n racines
infinies y parmi les valeurs finies dey qui deviennent égales au point ^ = a, il y en a n et n seulement qui ne sont pas des fonctions uniformes de x aux environs de ce point. Si cette équation n admet pour x = a aucune racine infinie, les valeurs finies dey qui deviennent égales au point x^=a sont toutes des fonctions uniformes aux environs de ce point.
Considérons les développements en série suivant les puissances de X— a qui représentent les diff*érents systèmes circulaires formés par
nlG L. RAFFY.
les racines 7 qui deviennent égales au point x = a, mais ne sont pas uniformes aux environs de ce point : soient ^, 2î, ^, ... les plus
* Pi Pî Pz '
petits exposants fractionnaires qui figurent dans ces différents développements. Noire lemme sera établi si nous prouvons que k est supérieur à tous les nombres —> ~j —
Pi Pi
Pour le prouver, nous n'avons qu'à nous reporter à l'exposition de la méthode de M. Puiseux qu'on trouve au Livre I, Chapitre II, de la Théorie des fonctions elliptiques de iMiM. Briot et Bouquet.
Supposons d'abord les racines séparées dès la première approximation. L'un des systèmes circulaires est représenté par la formule
OÙ q et p sont premiers entre eux : le système se compose de p racines, et l'exposant ~ n'est autre que-- Parmi les» valeurs distinctes
^ Pi ^ P ^
de {x — afj j'en considère deux dont les arguments diffèrent de a — >
/n'étant pas un multiple de/? : il est certain qu'il y a au moins deux valeurs telles de {x — a)'', puisque p est au moins égal à a. A ces deux
valeurs distinctes de {x — ay correspondent deux racines distinctes ji et^2 appartenant au système circulaire. Les deux différences (j^ — Va)
^t (ja -^yi) sont de l'ordre de [x — aY\ leur produit est de l'ordre
de (a? — a) ''. Or on sait que le produit des différences deux a deux des racines y de l'équation /{ a?, j) =o est égal, au signe près, au discriminant R(^) : ainsi R(^) contient le facteur {x-^ à) à une puissance
entière a certainement supérieure ou égale à 2 -; on a donc
d'où résulte
2 2<aî
el, comme— est égal à -» on a bien — <^, P\ ^ P Pi
Supposons maintenant que les racines ne soient séparées qu'à la seconde approximation. L'un des systèmes circulaires sera composé de pp' racines et représenté par la formule -
Ici /i et 9 ne sont plus nécessairement premiers entre eux; p peut être égal à i ou bien diviser q. Si -n'est pas entier, l'exposant^ est
égal a -; sinon, il est égal à — — r^* qui n'est certainement pas un
r Jrr
entier, puisque p\ premier avec q\ ne peut pas diviser qp' -f- q\ Parmi
\q^PP' valeurs de [x — àY^ ^ j'en considère deux dont les arguments différent de 1 —,y l étant un multiple de p, mais non un multiple de pp' .
A ces deux valeurs distinctes de {x — af^' correspondent deux racines j, etj, qt^i ont les deux mêmes premiers termes t H-f',(^ — aY\
qv'-^-q'
mais le terme v\{x — a) '**"' n'a plus la même valeur dans le développement de Tune que dans le développement de l'autre. Le produit des
^ffP'^n'
deux différences (7, —ja) et (/a — Ji) ost de l'ordre de (,r — aj" ''''' , et il résulte du raisonnement précédent que l'on a
pp
Or — est inférieur ou égal à ^ — r^- On a donc bien encore ~ < A-. Pi ® PP Pi
Il est clair que les mêmes conclusions subsistent, quel que soit l'ordre de l'approximation qui sépare les racines/. Supposons, par exemple, que ce soit la quatrième. L'un des systèmes circulaires sera représenté par un développement tel que
-\-ç\{x^à)P Pf^ PP'P'-hç^lix — ay '''^ ^^^ PP'P'P^-h...
et il se composera de pp'p'p^ racines. A deux valeurs de [x — af^'^'^
58 • L. RAFFY.
dont les arguments différent de 2 — rV->» /étant un multiple de/>/>y,
mais non àe pp'p''p'"y correspondent deux racines/, et ja dont les développements ont les quatre mêmes premiers termes, mais diffèrent
par le terme dont l'exposant est- + -^ H — ^ H ^-^r-i- Désignant
^ ^ P PP PPP PP P P ^
pour abréger par N cet exposant, on a Tinégalité
N<Ar,
et comme l'exposant^- estégal^ soit à N, soit a un des trois exposants précédents, on a encore
ce qui démontre le lemme.
On voit immédiatement que, si l'équation entre x et -j^ n'admet
aucune racine infinie pour 07= a, toutes les valeurs finies de y qui deviennent égales au point x=za sont des fonctions uniformes aux environs de ce point; car, s'il y en avait qui ne fussent pas uniformes, le développement d'un des systèmes circulaires qu'elles formeraient contiendrait un terme à exposant fractionnaire — moindre que ^, et -^ serait infini pour a? = a, contrairement à l'hypothèse ( * ) .
43. Marche a suivre. — Nous supposerons, comme on le fait toujours dans la théorie des intégrales abéliennes, que le pointa? = 00 est un point ordinaire de la courbe/(.r,j^) = dont on cherche le genre. S'il n'en est pas ainsi, on ramènera Téquation proposée à la forme voulue au moyen d'une transformation homographique. En verlu d'un théorème énoncé au n*^ 40, le genre de la courbe transformée est le même que celui de la courbe proposée.
De plus, nous supposerons (ce qui revient à une simple transformation de coordonnées) qu'en tout point critique a? = a la fonction j n'a pas plus d'un groupe de valeurs égales, c'est-à-dire que l'équation /(a, y) = o n'a qu'une seule racine multiple.
( 1 ) Celte conséquence de noire lemme nous servira dans l'étude des intégrales uniformes.
RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES. Sq
En vertu de cette hypothèse, si x=a est une racine de l'équation
l'unique racine multiple b de Téquation /(a,j) = o, étant Tunique racine commune aux deux équations/(a,y) = o et fy^d^y) = o, sera une fonction rationnelle de a, que l'on sait trouver par la théorie de l'éliminalion. Nous poserons b = <p(a).
Ayant formé l'équation R(a7) = o» nous pouvons, en appliquant la méthode des racines égales, mettre son premier membre sous la forme bien connue
On sait que les racines de l'équation X4 = o ou les racines simples de l'équation R(j?) = o donnent des points critiques spéciaux, où rvaleurs de y deviennent égales et forment uû seul système circulaire. Il suffit donc de déterminer le nombre r relatif à chacune des racines a de l'équation X, = o. Pour cela, remplaçons y par 9(0?) dans les diverses équations
et soient
ce que deviennent ces équations mises sous forme entière. Autant l'équation X| = o a de racines communes avec Téquation F, = o seulement, autant il y a de systèmes circulaires de deux racines; autant l'équation X, = o a de racines communes avec les équations F, = o et Fj = o, autant il y a de systèmes circulaires de trois racines; ... autant l'équation X, = oa déracines communes avec /ou^5 les équationsF, = o, Fjj^: o, .•., Yjn-K = o, autant il y a de systèmes circulaires de m racines. En appliquant la méthode de recherche du plus grand commun diviseur algébrique, on obtiendra la partie du nombre 2(r— i) qui correspond aux points critiques donnés par l'équation X| = o.
Remarque. — Si Ton sait résoudre l'équation X| = o, la détermination précédente s'effectue sans recourir à la méthode du plus grand commun diviseur.
6o L. RAFFY.
44. Voyons maintenant comment il f:iu(lra procéder pour compter les systèmes circulaires relatifs aux points critiques donnés par Fcquation X/ = o et les racines dont se compose chacun de ces systèmes.
On traitera Téquation X/ = o exactement comme nous venons de traiter l'équation X, = o. On remplacera ainsi Téquation X/ = o par plusieurs autres
qui seront telles qu'en chacun des n^ points critiques donnés par les /i^ racines de la première, deux valeurs de y et deux seulement deviennent égales; . . . qu'en chacun des /z, points critiques donnés par les /z, racines de l'équation £/ = o, i valeurs de y et i seulement deviennent égales, etc.
La somme r/ = 2/13 -+- 3/1, -f- . . . -1- qn^ = lirii sera la partie de la somme 2rqui correspond aux points critiques donnés par l'équation X/ = o.
Il suffit de compter les systèmes circulaires formés par les /z^ racines de Téquation Ç/ = o (qui pourrait n'être autre que l'équation X/ = o elle-même).
Désignons par kle plus petit entier supérieur à -: on formera -7—
au moven de l'équation
remplaçant par sa valeur -f- qui figure dans l'expression j v ^" ^^^ tiendra ^~ en fonction rationnelle de x et j. On continuera ainsi jusqu'à ce qu'on ait exprimé -—^ en fonction rationnelle de x eiy :
puis on éliminera j^ entre cette équation et l'équation /(cr,j')= o. On obtiendra ainsi une équation du degré m par rapport à z et dont les coefficients seront des fonctions entières de x :
Aos*" -h A, s*"-* -4- ... H- A^, 5 4- Am =: o.
Comme / est Texposant avec lequel chacun des facteurs binômes de |^
RECHERCHES ALGÉBRIQUES SIR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES. Gl
figure dans le polvnônieR(a?), cetieéqualion est celle que concerne le lemme établi plus hnul.
Si aucune racine de l'équation £/ = o n'annule Ao, les i/i/ racines de y qui correspondent aux /i,- racines de celle équation seronl toutes des fonctions uniformes aux environs des points critiques où elles deviennent égales : la partie correspondante de la somme 2(r — i) sera nulle.
Si, an contraire, toutes les racines de Téqualion £, = o annulent les coefficients des / premiers termes de l'équation en z, aucune des i/?, racinesj^ qui correspondent aux racines considérées n'est fonction uniforme de oraux environs des points critiques où ces racines deviennent égales.
Ce sont là deux cas extrêmes : dans le cas général, on formera par la méthode du plus grand commun diviseur diverses équations
telles qu'en tout point critique donné par l'équation 5,^ = o, A racines v, et A seulement, soient uniformes.
45. Nous sommes ainsi ramenés à traiter l'équation ^',^ = o. Il peut arriver qu'on sache trouver ses racines : soit a l'une d'elles; 6 = 9 [a] sera l'ordonnée du point multiple correspondant. Si, ayant transporté l'origine au po\n{x = a,y = b, on peut effectuer les résolutions d'équations qu'exige la méthode pour obtenir les systèmes circulaires, on aura la partie de la somme 2(r — i) qui correspond aux racines de
l'équation 5), = o. Si Ton ne peut pas effectuer ces résolutions d'équa-
lions, on posera {x — - a)'^ = x\ ou bien a? = a -h .r'^, cl l'on cherchera
combien de racines y sont fonctions uniformes de x aux environs du
point a7'=o, c'est-à-dire combien de racines y sont fonctions uni-
formes de {x ^ a)'\ Pour cela, on n'aura qu'à calculer la dérivée -^ (két^ni le plus petit entier supérieur à 2 - ou/] définie par l'équation /(a -^ x'^^y) = o, et à éliminerj entre l'équation qui fournit cette dérivée et réquation/(a -Ha?'*, j) = o. On obtiendra ainsi une équation du degré m qui aura, pourir' = o, un certain nombre i — n, de racines
62 L. RAFFY.
infinies : en vertu du lemme établi au n** 42, /i', des i racines j qui dc-
viennent égales pour x = a sont des fonctions uniformes de {x — aY ; mais dans ce nombre figurent les A racines qui sont des fonctions uniformes de a? — a; il reste donc n.^ —h racines y qui ne sont pas des fonctions uniformes de x — a, mais sont des fonctions uniformes de
[x — a)' ; leur nombre est nécessairement nul ou pair : elles se distribuent en '"~ systèmes circulaires formés chacun de deux racines.
Si Ton n'a pas obtenu, par cette opération, toutes les «racines j qui deviennent égales au point ^ = a (c'est-à-dire si Ton n'a pas i— n^ = o),
on posera {x — af=Xy et, désignant par k le plus petit entier supérieur à —3 on formera l'équation entre x' et -j-r^ • par ce moyen on
± comptera combien de racines jsontdesfonclions uniformes de (a? — a)',
ou, ce qui revient au même, combien de racines j se distribuent autour
du point ar = a en systèmes circulaires formés de trois racines.
En continuant ainsi jusqu'à ce que Ton ait posé [x — a)'"'^= x' et formé l'équation en ^-^ correspondante, on comptera tous les systèmes
circulaires formés par les i racines y qui deviennent égales au point x^=a, et l'on connaîtra la partie delà somme 2 (r— i) qui correspond à ce point critique.
46. Passons au cas où l'on ne pourrait pas résoudre l'équation ^^ =± o. Désignons par a une de ses racines et posons {x — a)'^ = x\ puis formons l'équation entre a?' et z = -j^y et faisons dans cette équation
a;'=o. Les coefficients de cette équation seront alors des polynômes en a : en cherchant les racines communes à un, deux, trois, ... de ces polynômes et au polynôme ^^^(a), on comptera les systèmes circulaires de deux racines relatifs aux divers points critiques a? = a. Supposons, en effet, que ^^ soit un polynôme du sixième degré : si pour trois des racines a,, a^» ^3 de ce polynôme le même nombre * — n!, , de racinesz deviennent infinies et si pour les trois autres 04,03, a^, un même
nombre t — n\^^ de racines z deviennent infinies, on aura 3 -^^ — sys
tëiïies circulaires de deux racinesy correspondant aux trois points critiques a^, «2, «3 et 3 *'^^ systèmes circulaires de deux racines y
correspondant aux trois points critiques a^», aj, a^.
Alors on passera aux systèmes circulaires de trois racines en posant
[x — aY = x' et étudiant séparément les racines des deux équations
En continuant ainsi jusqu'à ce qu'on ait posé, s'il y a lieu, (a: — a)'"'' = d?',
on comptera tous les systèmes circulaires formés par les racines j qui deviennent égales aux points critiques donnés par l'équation %f^z=o.
En réunissant toutes les parties de la somme 2(r *- i) relatives aux diverses équations £;, = o, on obtiendra la partie de cette somme relative à l'équation \i =o.0n réunira les parties relatives aux diverses équations Ç/= o, ce qui donnera la partie relative à l'équation X/=o. Réunissant enfin les parties relatives aux diverses équations X/=:() avec la partie relative à l'équation X, = o, on aura la somme cherchée I(r— i), et le genre scira fourni par la relation posée au début
47. Remarque. — La méthode qui vient d'être exposée permet de trouver le genre de toutes les courbes algébriques, quelles que soient leurs singularités. Cette méthode ne comporte qu'un nombre limité d'opérations, qui sont toutes possibles, puisque ce sont de simples divisions et éliminations. Mais elle peut conduire à des calculs très longs. C'est pourquoi, si quelques-unes des opérations partielles que nous avons indiquées peuvent être remplacées par les opérations correspondantes de la méthode connue pour obtenir les systèmes circulaires, on suivra de préférence cette dernière méthode.
Supposons, en particulier, qu'on sache compter les systèmes circulaires de racines j qui répondent aux points à l'infini de la courbe /{x,y) = o el\e nombre de racines de chacun de ces systèmes : on pourra, en vertu du n® 40, se dispenser d'effectuer la transformation homographique préliminaire, et l'on appliquera directement la méthode
64 L. RAFFY.
précédente aux poiots critiques pour lesquels x eiy soDttous tes deux finis.
Soit, par exemple, Téquation
On voit que x ety sont infinis en même temps. Posons x = -7» y = -7- I/éqnalion donnée devient
On en déduit
y — ce ~T~ > . . •
Ainsi, au point critique ;r' = o répondent deux valeurs nulles dey formant un système circulaire : pour ce système, r— i est égal à i.
La fonction /n'admet d'autre point critique à distance finie que le point ic =0, et Ton a
rz=zx^-\- ûc^
c'est-à-dire que deux valeurs nulles dey forment un syslème circulaire : pour ce système r—i est égal a 1 .
D'après cela, l{r— i) est égal à 2. Donc/?-!- m — i est égal à i, et, comme m=^ '2, p est nul. La courbe est unicursale.
Les exemples qui suivent montrent comment on doit appliquer la méthode précédente» et comment on peut y apporter diverses simplifications, que suggèrent les cas à traiter.
