Exemple. — Trouver le genre de la courbe

Le polynôme R(^) est ici égal àa7*(j7^-f-a? -1- i)^

On voit sur l'équation même que, pour chacune des racines de Véquationx'H- J7 -f- i =0, j^ acquiert quatre valeurs nulles formant un seul système circulaire. La partie correspondante de la somme l{r—i) est donc égale à deux fois (4 — i)> ^^ ^*

Passons au point critique a? = o. L'équation proposée peut s'écrire

Od déduit de là

dy -^ *- ^ -?

et Ton voit que les quatre valeurs dey sontinfioies pour x= o. Donc les quatre valeurs dey qui deviennent nulles au point x=o sont des fonctions non uniformes de x. Elles forment, par conséquent, ou deux systèmes circulaires de deux racines, ou un seul système circulaire de quatre racines.

Faisons 07 = or'*. L'équation devient

Elle donne pour le rapport — ,> quandj et a?' sont nuls, quatre valeurs

distinctes : en conséquence, les quatre valeurs de j^ qui deviennent nulles

avec x' sont des fonctions uniformes deor'ou dex^; donc elles forment deux systèmes circulaires de deux racines. La partie correspondante de la somme 2(r — i) est égale à 2.

Au tolal, l{r — i) est égal à 8. Faisons m = l\, l[r — i) = 8 dans la formule qui donne le genre. Elle devient

On en tire/i = i. Ainsi la courbe proposée est du genre i . 49. Exemple. — Trouver le genre de la courbe

Le polynôme R(a?) est ici égal à a?'**(a7'**— 4*)- L'équation binôme x^^= 4* n'a que des racines simples. Or^", se réduit ici à ^oy^ et n'est nul que si j et par suite x sont nuls. Ainsi, en chacun des dix points critiques donnés par l'équation 0?'*^= 4% deux valeurs seulement de y deviennent égales et forment un seul système circulaire. La partie de la somme 2(r — i) qui provient de ces dix points doubles est donc égale à 10.

Passons au point critiquer? = o. L'équation proposée donne pour y

66 L. RAFnr.

cinq valeurs nulles quand x est nul. Calculonsy ; on a

En éliminant y entre cette équation et la proposée, on obtient une équation en y qui a quatre racines infinies pour ;r = o. Donc une valeur (le y est fonction uniforme de x aux environs du point a? = o. Posons 07 = o;'^. II vient

Si Ton fait y = ('a?', on trouve

ce qui montre que les cinq valeurs du rapport —, sont différentes pour

j = a7'=: o. Donc les cinq valeurs de y qui deviennent nulles avec x

sont fonctions uniformes deo?^; nous savons qu'une d'entre elles est une fonction uniforme de a?: il en reste quatre qui sont fonctions uniformes

de 00^ et non de x. Ces quatre racines forment donc deux systèmes circulaires de deux racines chacun. La partie correspondante de la somme 2(r— i) est égale à 2.

Au total, l.ir— i) est égal à 12. Faisons m = 5, 2(r — i) = 12 dans la formule qui donne le genre. Elle devient

On çn tire/7 = 2. Ainsi la courbe proposée est du genre 2.

50. Exemple. — Trouver le genre delà courbe représentée par Véqualion

Les coefficients angulaires c des directions asymptotiquçs sont les racines de l'équation

et il est aisé de voir que cette équation a toutes ses racines distinctes.

Les points singuliers de la courbe proposée sont donc tous k distance finie.

Nous allons cherchera exprimer rationnellement eu fonction de x la racine y commune aux deux équations/(a7,j) = o^f^[x^y) =o. En supprimant le facteur 5 commun à tous les termes de cette dernière équation, on obtient

^y* — 3 ( jt' 4- ^ -h I ) ^' -h ( ^* -4- j:' -+- I )' = o.

Tirons j* de cette équation et substituons dans l'équation f[x^y) = o; après suppression du facteur commun rc*-Ha?H-i, cette équation devient

Tirons-en y^ et substituons dans la précédente; après suppression du facteur commun a?* h- a? h- i , il reste

y^ 4- œy — {x- 4- cr -h i) nz o.

Tirons encore y* de cette équation et substituons dans la précédente; nous trouvons

Dans cette équation, mettons à la place de y^ sa valeur tirée de l'équation précédente; il vient

x[{x^ -h j?-f-i) — xy] 4-(j?*4- ar-h i)y — x{^x^-^œ -h i) ~ o

ou bien

On voit par là que les valeurs critiques de x sont parmi celles qui satisfont aux trois équations

L'équation 07^ + ^ + 1 = 0, jointe a réquation/(a7, j) = o, entraîne 7 = 0. La valeur a?= — i ne donnera de point critique que si elle annule le discriminant de l'équation proposée. Or ce discriminant est, à une puissance près de (o?* -ha:-i- i), le premier membre de l'équation qu'on obtient en éliminant y entre les deux équations où il

68 h. RAFFY.

n'eDtre qu'au second degré; cette équation est

Ainsi a? = — I est racine double du discriminant. Le point a? = — i est donc un point critique.

Étudions les points critiques donnés par l'équation a?* -+- a? 4- 1 = o. En ces points j est nul. Comptons combien de valeurs dey deviennent nulles en ces points. On a

Donc cinq valeurs de j deviennent nulles en chacun des points critiques a, racines de Téquation a?* 4- a? 4- i = o. Au lieu de faire successivement X — a = x'^f X — a = 0?'*, a? — a = or'*, x — a = x'\ faisons directement

L'équation proposée devient

Les termes de moindre degré sont les suivants :

On peut appliquer la méthode connue pour obtenir les systèmes circulaires : elle montre immédiatement que les cinq racines nulles forment un seul système circulaire, dont le développement commence

par un terme en a?'*, c' est-a-dire en [x^af, a désignant Tune ou l'autre des deux racines de l'équation a?* 4- a? 4- 1 = o. D'après cela, la partie de la somme 2 (r — i) qui provient des deux points critiques a est égale a deux fois (5 — i), ou 8.

Éludions le point critique x = — i. Si l'on fait a? = — 1 dans l'équation proposée, elle devient

yj 5^8^.5^j.2;=(j + 2)(j» — j — 1)8=0.

Ainsi deux valeurs de y deviennent égales au point a? = — i à l'une des racines b de l'équation y* — j — i == o, deux autres deviennent égales à l'autre racine. Comme a? = — i est racine double du discriminant, le nombre que nous appelons k est l'entier immédiatement su-

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIErmES. G<)

périeurài; c'est-à-dire que A est éguU 2. En formant Téquation qui lie a?

et -j^i on reconnaîtrait que les quatre valeurs dey sont uniformes aux

environs du point critique. Mais il est plus simple de former les (rois dérivées

//•=:i0/[27* — 3(x*-4-a?H-i)], /;!y=:: — i5y« (2^7 -hi)4-lo(x«-|-J?-f-T) (2^ + 1), /x*^= — 10 J* — 8(2^74-1) (a?' H-^-f- i)H-6(5j— 2X){2X*-h2X -^ 1).

Faisons a? = — i, et tenons compte de Téquation j^=y 4- 1 ; ces trois dérivées prennent respectivement les valeurs suivantes :

Formons la quantité yi^*—X«X«- Comme elle n'est pas nulle en vertu de l'équation j)^ — y — 1 = 0, les quatre racines j^ sont uniformes* et la partie de la somme 2 (r — i) qui provient du point a? = — i est nulle.

La somme 2(r— i) est donc égale à 8. Faisons 7w = 5, 2(r— i) = 8 dans la formule qui donne le genre : elle devient

On en i\Tep = o. Ainsi la courbe proposée est unicursale.