II. Intégrales uniformes. — Première méthode

51. MM. Briot et Bouquet ont fait connaître (*) les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction liée à sa dérivée par une équation algébrique soit une fonction uniforme. Ces conditions sont exprimées par le théorème suivant :

Théorème. — Pour qu'une équation différentielle algébrique et irréduc*

tibUy entre u et-j-^ '

(duy \dz)

ne contenant pas la variable z, admette une intégrale uni/orme, il est nécessaire et il suffit :

I® Que les coefficients f^ ('^)>^('^)» • • •» SnS^) soient des polynômes

(< ) Recherches sur la théorie des fondions, Iroisième Mémoire, et Fond, ellipt,, p. 38i.

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entiers et, au plus, le premier du second degré, le second du quatrième degré, . . . , le dernier du degré 2 m ;

2^ Que chaque racine de l'équation, tant quelle ne devient pas nulle, reste holomorphe par rapport à u ;

3° Que chaque racine nulle et d'un degré plus petit que l'unité soit

du degré i y pétant le nombre des racines du système circulaire auquel

elle appartient;

t\^ Enfin que V équation différentielle, que Von déduit de la proposée

en posant a = — > présente pour ç = o les mêmes caractères.

52. Première condition. — Elle se vérifie par la simple inspection (les coefficients de Téquation donnée.

Deuxième condition. — Cette condition est plus difficile à vérifier. Si l'équation proposée ne contient pas de terme en U et si elle est lelle que pour certaines valeurs finies de u deux valeurs de U et deux seulement peuvent devenir égales, sans s'annuler, on n'a qu'à s'assurer que le discriminant de Téquation proposée, abstraction faite des facteurs binômes qui correspondent aux valeurs nulles de U, est un carré parfait. C*est le cas des équations trinômes de l'espèce de celles étudiées par MM. Briot et Bouquet ( * ).

Mais il peut arriver que, pour des valeurs finies de fi, plusieurs valeurs de U deviennent égales, sans s'annuler, et qu'on ne puisse pas obtenir ces valeurs de u ni les valeurs correspondantes de U. Connaissant même la valeur Uo que prennent plusieurs racines pour une valeur connue u = b, il faut pouvoir s'assurer que ces racines sont des fonctions uniformes de u aux environs du point u = b.

On y arrive en recourant au lemme que nous avons établi au n^42, en vue de déterminer le genre des courbes algébriques. Désignons, en efiet, par ¥{u, U) le premier membre de l'équation difi'érentielle proposée et soit

le discriminant de cette équation. La méthode des racines égales

(*) Fonctions elliptiques , p. SgS et suiv,

permet de mettre le polynôme R(u) sous la forme

Rp(m) étant le produit des facteurs binômes qui entrent avec l'exposant /3 dans le discriminant ^{u).

Soient u = b une racine de l'équation Rp(M) = o, et U^ une racine multiple, mais non nulle, de l'équation F(ft, U) = o. La racine b est racine d'ordre j3 de l'équation R(m) = o. Soit Aie plus petit entier supérieur h -• D'après le Icmme du n*^ 42, pour que les valeurs de U qui

deviennent égales à Uo au point u = b soient toutes des fonctions uniformes de u aux environs de ce point, il faut et il suffit que les dérivées -j-j de ces diverses racines restent finies pour u=^b. Mais, s'il

en est ainsi, la fonction ^-^ sera représentée par une série procédant

suivant les puissances croissantes de u — b, et dans laquelle tous les termes auront des exposants entiers et positifs. Si dans celte série on remplace u — b par la série à exposants tous positifs (mais entiers ou fractionnaires) que fournit son développement suivant les puissances

croissantes de U — Uot on obtiendra pour -j-^ un développement où

ne figureront que des exposants positifs; c'est-à-dire que, pourU=Uo,

toutes les valeurs de ^-^ resteront finies. Réciproquement, si pour

U = Uo toutes les valeurs de -j-j^ restent finies, elles resteront finies

pour M = 6, et les diverses valeurs de U qui, pour u = b, deviennent égales à Uo, seront aux environs du pointu = b des fonctions uniformes de u.

On est ainsi conduit à former l'équation qui lie U et -^-j^j k désignant maintenant le plus petit entier supérieur à -? et n le plus grand des exposants tels que /3. On devra vérifier que le coefficient de la plus haute puissance de -j-j^ dans cette équation nes'annule pour aucune des

valeurs de U, différentes de zéro y qui satisfont à la fois aux deux équations

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Pour s'en assurer, od éliminera u entre ces deux équations; soit ip(U) = o l'équation résultante. On formera par la méthode des racines égales l'équation x(U) = o qui a pour racines simples les racines distinctes de l'équation (];(U) = o, moins la racine zéro; et il restera à

vérifier que le coefficient de la plus haute puissance de -^ dans

l'équation précédente ne s'annule pour aucune des racines de l'équation x(U) = o.

53. Troisième condition. — Pour vérifier cette condition, nous commencerons par mettre le polynôme /„(if) sous la forme

/,„(«) = cp,(«)[cp,(zi)P[tp,(«)]»...[cpp(«)?...,

employée déjà plusieurs fois. Puis nous chercherons parmi les racines du polynôme (f^{u) celles pour lesquelles U acquiert 3 valeurs, 3 valeurs, ..., /valeurs nulles. De cette manière, on mettra le polynôme <f^[u) sous forme d'un produit de plusieurs facteurs

le polynôme ^^,i[u) ayant pour racines celles des racines de l'équation çp(z^) = o, auxquelles correspondent / valeurs nulles de U et / seulement. Les polynômes tels que f)p,/(u) se calculent facilement en cherchant les racines communes à ^^{u) d'une part et aux divers polynômes y^»i(w),/;,2 (m), ... d'autre part.

Considérons maintenant le polynôme ^^j[u). Soit b l'une de ses racines. Concevons que l'on remplace dans l'équation a intégrer u par b 4- m', et qu'on cherche à séparer les racines U nulles avec m' en groupes de racines du même degré : la méthode de M. Puiseux conduit à construire un certain polygone que nous désignerons par P. En cherchant le plus grand commun diviseur du polynôme <pp./(«) et des divers polynômes/„<(M), y^^al")» ... on arrivera, comme on le voit facilement, à décomposer le polynôme f)p,/(u) en un produit de plusieurs autres dont chacun jouira de la propriété que le polygone P soit le même pour toutes ses racines b. En répétant ces opérations sur tous les polynômes tels que <Pp,/(tt), on décomposera le polynôme fm{u) en

un produit de facteurs 6,(m), ô^iu), ..., 9r{u)^ ..., 9,(w) jouissant chacun de la propriété indiquée.

Soit P;. le polygone P qui correspond aux racines du polynôme $r{^)^ et qui est le même pour toutes ces racines. Nous connaissons les coordonnées des sommets de ce polygone. Il faut que ceux des côtés de ce polygone dont les coefficients angulaires sont en valeur absolue moindres que Tunité aient pour coefficien(s angulaires des fractions

de la forme — f i — -)> p étant un entier. S'il n'en est pas ainsi, l'intégrale n'est pas uniforme. S'il en est ainsi, il faut encore que toutes les racines U dont le degré est i forment des systèmes circulaires

composés chacun dep racines, et non d'un nombre multiple dep. Désignons par np le nombre de ces racines, qui est connu, et par b la racine inconnue du polynôme Qr{^) à laquelle correspondent ces np racines nulles. D'après les principes de la méthode de M. Puiseux, pour que ces np racines forment n systèmes circulaires, il faut et il sufQt que

le rapport p = j:zi prenne, pour u = b, np valeurs différentes.

p On remplacera dans l'équation à inlégrer u par ô-f-w'''"*, puis on

remplacera U par pu\ et finalement on fera u'=o. On obtiendra une équalion du degré np entre p et ,6, et l'on constatera que le discriminant R(6) de cette équation n'a aucune racine commune, avec le polynôme dr(^)- Si n est égal à i, la dernière opération sera inutile.

54. Quatrième condition. — Elle exprime simplement que l'équation

transformée, obtenue en posant « = - et V= ^5 vérifie, quand s^ est

nul, les conditions 2^ et 3°. En ce qui concerne la condition 2*", il suffit de faire v=^o dans l'équation transformée, pour obtenir l'équation ^j;(V)= o dont les racines sont les diverses valeurs de V au point ç = o. On formera par la méthode des racines égales l'équation ^(V) == o qui a pour racines simples les racines distinctes de l'équation ^{Y) = 0, moins la racine zéro. Enfin on formera l'équation entre V

et -^-x' ^ étant l'entier immédiatement supérieur au demi-exposant de (^

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dans le discriminant R(f') de Téquation Iransformée, et Ton devra reconnaître que le coefficient de la plus haute puissance de -^ dans cette

équation ne s'annule pour aucune des racines de l'équation x(^) = ^*

En ce qui concerne la condition ^^ Y étant nul avec v, onconstruira,

sans avoir aucun calcul à faire, le polygone que nous avons appelé P.

Toutes les racines d'un degré inférieur à Tunité devront avoir pour

degré une fraction telle que i y p étant un entier : on connaît les

diverses valeurs de/?, et le nombre np des racines du degré i Si n

est égal à I, les/? racines forment nécessairement un seul système circulaire. Si n n'est pas égal à I» on effectuera la dernière opération indiquée à propos de la troisième condition. Ici cette opération se sim-

plifie : on fait y^ipv ^ dans l'équation transformée, et l'on doit constater que les n/i racines finies et différentes de zéro que cette équation fournit pour s^ = o sont différentes les unes des autres. Il convient de faire observer que cette équation en p et celle qu'on forme pour vérifier la troisième condition ne contiennent que des puissances de p^ : on remplacera p^ par X et Ton devra reconnaître que l'équation enXa ses n racines distinctes.

Remarque. — Si l'intégrale de l'équation proposée est reconnue uniforme, on appliquera le théorème du n" 18 qui fait connaître la nature de cette intégrale, et l'on saura si elle est rationnelle, simplement périodique ou doublement périodique. Mais il y a lieu d'appliquer avant tout ce théorème, parce qu'il peut, dans certains cas, montrer que l'intégrale n'est pas bien déterminée, et dispenser ainsi de tout calcul ultérieur.

55. Exemple. — Voici un exemple emprunté au Mémoire de MM. Briol et Bouquet : soit l'équation

Ici la dérivée Fij(a, U) est égale àU'[5UH-4('**— i)J. Éliminonsa entre l'équation 5Uh-4("* — i) = o et l'équation proposée : l'équa-

RECBERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 75

tion résultante est U^ = o. Ainsi l'équation proposée n'admet d'autres racines multiples que des racines nulles quand u reste fini. Nous avons à étudier les racines nulles qui correspondent aux racines distinctes de réquationy^(M) = Ot c'est-à-dire aux racinesde l'équation M|(a^—i)=o. Remplaçons u par b-hu\ b étant Tune des racines de l'équation u^ = I. 11 vient

On voit que le polygone P relatif aux deux valeurs de 6 est le même; c'est la droite qui joint le point dont l'abscisse est 5 et l'ordonnée o, au pointdont l'ordonnée est 4 et l'abscisse o : ainsi à chacune des deux valeurs de b correspondent cinq racines nulles du degré | : elles forment nécessairement un seul svstëme circulaire.

La fonction U admet un autre point critique à distance finie : c'est le point u =o. En ce point, quatre racines U deviennent nulles; le polygone P relatif au point u = o est la droite qui joint le point dont

l'abscisse est 4 et l'ordonnée o, au point dont l'ordonnée est 2 et l'ab-

scisse o : ainsi il y a quatre racines du degré ^. Posons U = X* a', puis

faisons a = o dans l'équation entre X et u\ elle se réduit a X* = — ^•

Les deux valeurs qu'elle fournit pour X étant différentes, les quatre racines nulles et du degré ^ forment bien deux systèmes circulaires. Ainsi les trois premières conditions pour que l'intégrale soit uniforme sont vérifiées.

L'équation transformée

se réduit pour ('^ o à V* — V* -h ^ =0; elle admet la racine double

V = ^ et trois racines simples. Le polynôme R(t') analogueau polynôme R{m) est ici égal ài'^(i — p')'". L'entier A immédiatement supérieur à| ou I est égal à 2. Donc, pour que les deux valeurs égales de V qui correspondent à c^= o soient (les fonctions uniformes aux environs du

point p = 0, il faut et il suffit que, pour V = |, l'équation entre V et -7:5 n'ait pas de racine infinie : c'est ce qui a lieu.

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En conséquence, l'équalion proposée a pour intégrale une fonction uniforme; et, comme les paramètres c et c^ sont tous nuls, l'intégrale est doublement périodique.