III. Intégrales uniformes. — Seconde méthode

56. La méthode que nous allons exposer est. fondée sur Timportante proposition de M. Hermile, que nous avons déjà citée et qui s'énonce ainsi :

Si r intégrale u d'une équation différentielle algébrique F(m,U) =0 est uniforme et doublement périodique^ la courbe Y = est du premier genre. Si cette intégrale est uni/orme et rationnelle ou simplement périodique^ la courbe F ^= o est du genre zéro.

Les réciproques de cette proposition ne sont évidemment pas vraies; mais il suffit, comme on va le voir, d'introduire quelques conditions de plus dans leurs énoncés pour que ces réciproques, devenues vraies, fournissent une méthode régulière, permettant de reconnaître si l'intégrale est uniforme. La seule difficulté qui se présente dans l'application est la détermination du genre de l'équation à intégrer. Nous avons donné au début de ce Chapitre une méthode absolument générale pour effectuer dans tous les cas cette détermination.

Il ne nous reste donc plus qu'à résoudre le problème suivant :

Problême. — Étant donnée une équation différentielle algébrique F(a, U) = o, de genre i ou zéro, reconnaître si son intégrale est uniforme.