i" Cas. — L'équation à intégrer est du genre i

Il résulte immédiatement de la proposition deM. Hermite que, si l'intégrale est uniforme, elle est doublement périodique. Alors, en se reportant au théorème du n® 18 {Nature de l'intégrale e/), on voit que les paramètres cet c^ doivent être tous nuls. Nous allons montrer que ces conditions suffisent.

Théorème. — Si V équation différentielle F(i/, U) = o est du genre r.

€i si les paramétres c et c\ sont tous nids^ V intégrale u est doublement périodique et déplus uniforme.

En vertu d*une proposition démontrée par Glebsch dans ses profondes recherches sur les courbes du troisième degré (*), les coordonnées u et U d'une courbe du genre i sont des fonctions rationnelles d'une variable / et d'un radical carré portant sur un polynôme entier du quatrième degré en /,

Une transformation du premier degré ramènera ce radical à la forme canonique. On peut donc poser

les symboles (f et ^ désignant deux fonctions rationnelles. De ces for-

dz i du

di ^ "^ "dî

mules il résulte que la dérivée •;^ = ff -77 est aussi une fonction ration-

nelle de t et du radical V(i — ^^)(i — t^t^). Mais les paramètres cetc'^ étant tous nuls, z est une intégrale de première espèce; puisqu'elle dépend seulement des intégrales elliptiques» c'est une intégrale elliptique de première espèce. On a donc, en désignant par p une constante,

dz I I

De là résulte

et, par suite,

f =:Sn(p5)

, r , . dsnipz)!

ce qui prouve à la fois que l'intégrale u est doublement périodique et qu'elle est uniforme.

Conséquence. — Si l'équation à intégrer est du genre 1 et si l'intégrale u est bien déterminée et a deux périodes, elle est nécessairement uniforme.

Remarque. — Ce théorème est une réciproque de la proposition de

( » ) Journal de Crelle, t. 64.

78 L. RAFFY.

M. Hermite; c'est aussi une réciproque du théorème qui fait connaître la nature de Tintégrale u (n^ 18).

Il convient de signaler ici une Note dans laquelle M. Fuchs {*) étudie l'équation différentielle binôme

et retrouve certains résultats de MM. Briot et Bouquet, en exprimant que cette équation est du genre i.