L. RAFFY

Dans un premier Chapitre, j'établis des principes dont je fais usage dans tout le cours de ce travail. J'en déduis, comme conséquence immédiate, une méthode pour reconnaître, sans résoudre aucune équation, si une intégrale abélienne donnée est ou non de première espèce.

Au second Chapitre, je considère les (onctions liées à leur dérivée par une équation algébrique, et qui n'ont en chaque point qu'un nombre limité de valeurs. Le théorème fondamental concernant ces fonctions a été donné par MM. Briot et Bouquet dans leurs importantes Recherches sur la théorie des fonctions ; il s'énonce ainsi :

Si r intégrale d'aune équation différentielle algébrique l^ ( "i 3" ) = ^ n^a

en chaque point qu'un nombre limité de valeurs, cette intégrale est racine d'une équation algébrique ayant pour coefficients des fonctions entières, soit de la variable z, soit de r exponentielle e?*, soit de la fonction doublement périodique sn (p a ) .

Je me suis proposé de reconnaître a laquelle de ces trois classes appartient l'intégrale, en supposant qu'elle n'ait en chaque point qu'un nombre limité de valeurs, ou, comme je le dis plus brièvement, qu'elle soit bien déterminée ('). Je déduis du critérium trouvé des caractères auxquels on reconnaît que Tintégrale ne peut pas être bien déterminée. Je passe ensuite au cas où l'intégrale, supposée bien déterminée, serait algébrique, et je donne une détermination nouvelle du degré de l'équation intégrale par rapport à la fonction qu'elle définit. Enfin je traite le cas oii l'équation à intégrer représente une courbe unicursale. Les méthodes suivies dans ces applications n'exigent la résolution d'aucune équation irréductible.

Le genre est un des nombres qui caractérisent le mieux le mode d'existence des fonctions algébriques. On sait quelle place la considération du genre tient dans l'Analyse et dans la Géométrie : il parait nécessaire d'avoir une méthode qui permette de trouver le genre d'une

( ^ ) Je reprends une dénomination employée jadis par Liou ville. Dans le sens que lui atlribuait Liouville, elle a été remplacée par le mot uniforme; il n'y a donc aucun inconvénient' à en faire usage pour désigner des fonctions qui, sans être uniformes, n'ont en chaque point qu'un nombre limité de valeurs.

courbe algébrique, quelles que soient les singularités qu'elle présente. La méthode que j*expose au début du Chapitre III est générale et ne comporte d'autres opérations que des divisions et des éliminations.

Je m'occupe ensuite du problème important que MM. Briot et Bouquet ont traité h la fin de leur troisième Mémoire, et qui consiste

à reconnaître si une équation différentielle algébrique Ff m, -^ j = o

admet une intégrale uniforme. Les difficultés que présente ce problème sont de même nature que celles qu'on rencontre dans la détermination du genre des courbes algébriques. J'indique d'abord les moyens d'appliquer les conditions énoncées par MM. Briot et Bouquet, quelle que soit l'équation différentielle proposée; puis je termine par une solution nouvelle du problème, fondée sur une proposition remarquable, qui est due à M. Hermite.