I. -r- Théorèmeâ préliminaires
1. Dans ce premier Chapitre, nous allons établir des propositions dont nous ferons usage dans toute la suite de nos recherches. Comme première application, nous en déduirons une méthode pour reconnaître si une intégrale abélienne donnée est de première espèce.
Nous adopterons les notations employées par MM. Briot et Bouquet dans leur troisième Mémoire sur la théorie des fonctions (*) et dans le Livre V de leur Théorie des fonctions eUiptiques : z ei u seront deux
variables imaginaires liées par une équation différentielle fiuy -^\ = o, algébrique par rapport à a et -J^y et irréductible. Cette équation sera
(I) Recherches sur la théorie des fonctions, trois Mémoires publiée dans le XXXVI* Cahier du Journal de PÉcole Polytechnique.
4 L. RAFFY.
toujours supposée mise sous forme rationnelle et entière. Nous désignerons par U la dérivée ^* Quand la variable u deviendra infinie,
nous poserons f' = - et nous désignerons par Y la dérivée ^•
Enfin, nous introduirons deux séries de paramètres : les paramètres c seront les valeurs finies ou infinies que donne Téquation F(u, U) = o
pour le rapport ^ quand Tun des termes de ce rapport ou tous les deux
deviennent infinis; en langage géométrique» ce sont les coefficients angulaires des directions asymptotiques de la courbe F = o. La lettre &
désignera la dérivée ^ et les paramètres c^ seront les valeurs que
cette dérivée prend quand U est nul.
Pour abréger nos premiers énoncés, nous dirons que le point u= b {b étant fini) est un point singulier logarithmique simple de la fonction z, si pour u = bh fonction z est infinie, et si sa dérivée ^ est de
Tordre de ^ . ; le point ç^ = - = o sera un point singulier logarith-
dz
mique simple, si pour (^ = o la fonction z est infinie et si sa dérivée ^
est de Tordre de ~ (* ). Dans ces énoncés, nous supposerons implicite*
ment que^ quand Tintégrale z devient infinie, elle le devient autrement que par Taddition de multiples infiniment grands de ses périodes.
2. Théorème L — Étant donnée une équation algébrique irréductible
"Yj- reste finie sur toute la sphère, les paramétres c et c^ sont tous nuls.
Théorème II. ~ Si l'intégrale z devient infinie ^ mais n admet aucun point singulier logarithmique simple, un au moins des paramètres c et c\ est infini, et aucun d'eux n est fini et différent de zéro.
Théorème III . — Si l'intégrale z devient infinie, mais n^cubnet d'autres
(1) Pour les points singuliers logarithmiques en général» voir Briot et Bovqcet, Théorie (tes fondions elliptiques, p. 175 à 178.
infinis que des points singuliers logarithmiques simples, les paramètres c et Cq sont tous finis, et deux au moins d'entre eux sont différents de zéro.
Théorème IV. — Les réciproques des trois théorèmes précédents sont vraies.
/" Hit 1^ ne peut
devenir infinie que dans deux cas : i^ u restant fini et U devenant nul ; a^ u devenant infini.
i*"*^ CAS : u est fini, U est nul. — On a alors pour le développement d'un des systèmes circulaires formés par les valeurs infinies de t?
Mais, rintégrale z restant finie, il faut que q soit inférieur a p. On conclut de là
^•"(sn) = Hm "77 =: lim [^(1/ — b) ^4-...J=:o.
D'ailleurSi quand U est nul, on ne peut pas supposera infini : car alors l'élément différentiel et la limite supérieure de l'intégrale z devenant infinis, cette intégrale serait infinie. Ainsi tous les c^ sont nuls.
2* CAS : u est infini, — Nous poserons w = -> çt nous prendrons s^ comme nouvelle variable. Faisons aussi V= — Msr^ : l'intégrale pro-
posée prend la forme ^ = / y* Si V n'est pas nul avec ç^, l'intégrale z
reste finie, et le rapport ^ = — tt tend évidemment vers zéro. Si V est nul avec t^, on est ramené au cas précédent. Il faut que le rapport ~=— ^ tende vers zéro quand u devient infini. Ainsi le paramètre c = Tj est nul quand u est infini. D'ailleurs, si U devient infini, u restant fini, c est encore nuL Donc les paramètres c sont tous nuls.
G L. RAFFY.
4. Démonstration du théorème IL — On a à examiner les deux mêmes cas que plus haut.
1**^ CAS : u est fini, U est nul. — On a, comme précédemment,
dz 1 , , , ,-?
Si y est inférieur à/>, l'intégrale z reste finie; le rapport ~ tend
vers zéro, c'est-à-dire que Cq = ^ est nul.
Pour que l'intégrale devienne infinie et. que Tordre de ^ soit supérieur à Tunilé, il faut et il suffit que q soit supérieur à /?. Par suite, le rapport ^~ croît sans limite, c'est-à-dire que ^'o ~ 57? ®^^ infini.
D'ailleurs, si, U étant nul, // est infini, c^ est infini
Aucun des paramètres c^ ne peut être fini et diff^érent de zéro : car, pour qu'il en fût ainsi, il faudrait que q fût égal à /i, cas exclu par
l'énoncé, parce qu'alors -^ serait de Tordre de __ , ■ 2^ CAS : u est infini. — Posons w= -; il vient z = f ^«
Si V n'est pas nul avec (% l'intégrale z reste finie ; le rapport ^
tend vers zéro : c est nul.
Si V est nul avec f', on a
dz I . --
-j- z=z ^ ^= hv '*4-. . ..
av V
Si q est inférieur à /7, l'intégrale z reste finie, et le rapport c = — ~ est nul. Lecasdcy = pest exclu par Ténoncé.Si^r est supérieur à^, Tin-
tégrale2devientinfinie,etle rapporte = — :^, étant de Tordre de v '',
croit sans limite avec u : c est infini. D'ailleurs, si U est infini, u restant fini, c est nul.
Aucun des paramètres c ne peut être fini et difierenl de zéro : car il fiiudrait que q fût égal à p; c'est le cas exclu.
5. Démonstration du théorème III. — On a encore à examiner les deux mêmes cas que précédemmcnL
i*' CAS : u estfiniy U est nui. — On aura
dz I -^
Si q est inférieur à /i, Tintégrale z reste finie; le rapport ~ ■ tend vers zéro : c^ est nul.
Si z devient infini, l'ordre de ^ devant'être égal à Tunité, q est égal
à ^; par suite, le rapport — jj— tend vers une limite h finie et diff*érente
de zéro : c^ est fini et différent de zéro. Ainsi, quand U est nul, u restant fini, c^ n'est pas infini; et Ton verra, au cas suivant, que, quand CI est nul, u ne peut pas être infini.
Si V n*est pas nul avec v^ l'intégrale z reste finie; le rapport y = ~ tt
tend vers zéro : c est nul.
^ Si V est nul avec i', on a
dv V
Si q est inférieur à /i, l'intégrale 2 reste finie, et le rapport c = — ~ est nul.
dz
Si z devient infini. Tordre de ^ devant être égal à l'unité, q est égal
à/?; par suite yr=^~ tend vers une limite h finie et différente
de zéro : c est fini et différent de zéro.
Puisque le rapport |t ne peut être que fini ou nul quand u est infini,
U doit nécessairement être infini avec u, ce qui justifie la proposition avancée plus haut.
Enfin, si U devient infini, u étant fini, c est nul.
En résumé, aucun des paramètres c et c^ n'est infini, et un au moins
8 L. RAFFY.
(le ces paramètres est différent de zéro : nous prouverons au n^ 13 qu'il y en a deux au moins qui ne sont pas nuls.
6. Démonstration du théorème IV. — Les réciproques des trois ihéorëmes précédents s'établissent par le raisonnement des cas exclusifs.
Remarque. — Il peut arriver que les paramètres c et Cq relatifs à une équation F(£^, U) = o soient tous nuls; c'est le cas du théorème I.
11 peut arriver que les paramètres c et c^ soient tous infinis : l'équation
le montre immédiatement : les termes du plus haut degré se réduisant à U% les coetBcients angulaires c des directions asymptotiques sont tous infinis. L'axe U =o rencontre la courbe en deux points à dislance finie, car il lui est tangent à l'origine des coordonnées : en ce point
^ est infini. L'axe U = o rencontre aussi la courbe en un point à
l'infini : en ce point, u étant infini et U fini, ^ est infini.
Il peut arriver enfin que les paramètres c et c^ soient tous finis et différents de zéro, comme cela a lieu pour l'équation U — m = o.
II. — Signification des paramètres c et c^ : périodes polaires.
7. Étant donnée une équation algébrique F(w, U) = o, les périodes polaires de l'intégrale z = 1 -j^ correspondent aux deux cas sui-
dz . dz
vants : i^ ^ infini pour une valeur finie de u\ 2" ^^ infini pour 1^ = 0,
V désignant toujours - {voir Briot et Bouquet, Fonctions elliptiquesy p. 170 et suiv.).
I**'' CAS. — On aura
Si q est inférieur à/?, l'intégrale z reste finie; il n'y a pas de période polaire.
Si q est supérieur à p^ la série précédente contient généralement un terme en {u — è)~*
Quand la variable u fait/) tours autour du point b^ Tintégrale z reprend sa valeur primitive augmentée de la période polaire 2pinhç p. Dans le
cas présent, on voit que le rapport 77 - croit sans limite : Cq est
infini.
Mais, si q=p, Tintégrale z admet la période polaire npinh, et le
rapport TT ayant précisément pour limite A, la période polaire est
égale à 2pinc\.
2^ CAS. — On aura
— — — hv p '\-
dsf V
Si q est inférieur à p^ il n'y a pas de période polaire. Si q est supérieur à /), z admet la période polaire npinh^^p^ et c est infini. Mais, si q =p, z admet la période polaire 2pinh = ^pinc. Il n'y a, pour s'en assurer, qu'à répéter le raisonnement fait au cas précédent.
Nous arrivons ainsi à ce théorème :
Théorème V. — Les valeurs finies des paramètres c et c\ représentent, à un facteur 2 pin près, celles des périodes polaires de l'intégrale z qui correspondent à des points singuliers logarithmiques simples.
