III. — Les trois formes de réquation F(</, U)=:o

8. A chacun des trois cas définis par les théorèmes précédents correspond une forme particulière de l'équation F(u, U) = o. Nous allons fixer ces trois formes.

Cas du théorème I, — Les paramètres c et c\ sont tous nuls.

Les paramètres c sont les coefficients angulaires ?? des directions

lO L. RAFFY.

asymptotiques de la courbe représentée par l'équation F(tt, U) = o. Puisqu'ils sont tous nuls, U est nécessairement infini quand u est infini (^), et Tensenible des termes du plus haut degré de Téquation F(u, U) = o se réduit à une puissance de u^ affectée d*un coefficient indépendant de U.

D'après cela, l'équation F(i/, U) = o sera de la forme

les lettres /désignant des polynômes entiers en u\ soient ^oj^h • • •» ^m-n ^m l^s dcgrés dc ces polynômes. Ils satisfont aux inégalités

car ces inégalités expriment que l'ensemble des termes du plus haut degré de l'équation se réduit à un terme en ti^'^à coefficient constant. Réciproquement, si elles sont vérifiées, tous les paramètres c sont nuls. Nous allons exprimer maintenant que tous les paramètres Cq sont

nuls, c'est-à-dire que, quand U est nul, ^ est nul aussi. En vertu de la

remarque faite quelques lignes plus haut, quand U est fini, u ne peut pas être infini. Toutes les valeurs de u qui répondent à U = o sont donc fournies par l'équation /„(m) = o.

Soit u= b une racine de cette équation. Transportons l'origine des coordonnées au point U = o, u = b. Il suffit de poser u = b-hu\ L'équation devient

UVo(^-^"')+...+ UVm-.(ô+«')-HU/,„,(6 + a')4-/,«(6 4-w')=ro.

du'

AU point qui est maintenant l'origine, la dérivée ^ n'a d'autre

valeur que zéro. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'ensemble des termes du moindre degré de l'équation se réduise à une puissance de u! affectée d'un coefficient constant. Supposons que b soit

(>) C'est la généralisation de cette proposition bien connue : La fonction u, inverse d'une

intégrale elliptique de première espèce z, ne peut être infinie sans que sa dérii^e U = -p soit aussi infinie.

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES. It

racine d'ordre ^ de multiplicité de réquation/„(u) = o. Le terme de moindre degré en v! da polynôme /„(6 -\-u*) est li^^ : Téquation ne doit contenir aucun terme de degré inférieur k J8 ni aucun autre terme de degré égal à |3« Ainsi» toute racine b d'ordre |3 de V équation fr„{u) = o e$t racine d'ordre /3 au moins de V équation f^^^ (m) = o; elie est racine d'ordre ^ — i au moins de r équation /m-2{u) = o, et ainsi de suite : elie est racine d^ordre ^ — k -h i au moins de i' équation /^^/^{u) = o.

Réciproquement, s'il en est ainsi, tous les paramètres c^ sont nuls.

De Ta résulte une généralisation d'une propriété des fonctions elliptiques (*) :

-|y- > définie par V équation algébrique F(a, U) = o, reste finie sur toute la sphère, V équation F(ii, U) = o ne contient pas M à la première puissance.

En effet, le polynômeyî^,(a), qui est de degré moindre que le polynôme/m({/), doit admettre toutes les racines de/„({i) et chacune d'elles le même nombre de fois au moins quey^(2^). Doncy^.4(i^) est identiquement nul.

9. Remarque. — On reconnaît, k la seule inspection des termes de l'équation F = o, si cette équation vérifie les conditions nécessaires et suffisantes pour que les paramètres c soient tous nuls.

Pour vérifier si les paramètres c^ sont tous nuls, on n'a besoin de résoudre aucune équation. La méthode dite des racines égales, qu'on doit a Lagrange, permet de remplacer l'équation /^(ii) = o par un certain nombre d'autres équations

qui n'ont chacune que des racines simples; la première a pour racines les racines simples de l'équation /„({!) = o; la seconde, ses racines doubles; ...; la dernière, ses racines d'ordre p.

Pour vérifier les conditions relatives aux racines multiples d'ordre |3, on divisera /„a(a) par [(pp(tt)]P-*; puis/„^,(ii) par [(pp(ii)]^*; ..., et

(») Briot et BorQtJBT, Fonctions elliptiques, p. 278.

12 L. RAFFY.

en général /„-*( m) par [fp(a)]P^^Moutes ces divisions devront se faire exactement Si ane seule de ces opérations est impossible, on sera assuré que Tintégrale z ne reste pas finie sur toute la sphère. D'ailleurs» on pourrait aussi former par différentiation et élimi-

nation l'équation qui lie U et c'= ^> et Ton aurait a vérifier que pour

U = o cette équation n'admet d'autre solution que er'= o : on ordonnerait les termes de cette équation suivant les puissances de (f, et l'on devrait constater que le terme indépendant de c' et les coefficients de toutes les puissances de c\ sauf celui de la plus élevée, s'annulent en même temps que U.

On trouvera plus loin des exemples du cas actuel.

10. Cas du théorème IL — Les paramètres c et c\ n'ont d'autres valeurs que zéro ou l'infini» et ne sont pas tous nuls.

L'ensemble des termes du plus haut degré de l'équation F(w, U) = o se réduit k un seul terme de la forme AU^i/^ Â étant une constante, a, /3 deux entiers dont un peut être nul. Réciproquement, s'il en est ainsi, les paramètres c n'ont d'autres valeurs que zéro ou l'infini.

Passons aux paramètres c^. De l'équation F(z/, U) =o on déduit

du-""^ f;/

Éliminant u entre les deux équations F=o et c'F^-hFi,= o, on obtient une équation entre U et c'. Si l'on ordonne les termes de cette équation suivant les puissances de c\ le coefficient de la plus haute puissance de c' est, ou une constante, ou une puissance de U; si l'on ordonne suivant les puissances de U, le terme indépendant de U est, ou une constante ou une puissance de c . Il faut et il suffit évidemment qu'il en soit ainsi pour qu'aucun des paramètres c^ ne soit fini et différent de zéro.

Remarque. — Dans le cas actuel, il peut arriver que l'équation F(i/, U) = o contienne U à la première puissance. Soit, par exemple, l'équation

Elle ne contient d'autre terme du troisième degré que u^U : deux des

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES. l3

paramètres c sont nuls et un est infini. Quand on fait U = o» une valeur de u devient infinie, une valeur de c^ est infinie; en même temps u prend les valeurs finies zéro et — 4: '^ tangente à l'origine est la droite a = o : c^, est nul.

Faisons w = m' — 4- L'équation devient

La tangente au point U = o, w'= o, est la droite u==o: c'^ est nul. Ainsi Téquation proposée vérifie les conditions du théorème II et contient U à la première puissance. D'ailleurs elle s'intègre facilement : on trouve

ce qui permet de reconnaître que la fonction z devient infinie, mais n'a pas de point singulier logarithmique, ni simple, ni autre.

Cet exemple montre aussi qu'il n'est pas toujours nécessaire de former l'équation entre U et c\

11. Cas du théorème TIL — Les paramètres c et Cq sont tous finis et ne sont pas tous nuls.

L'ensemble des termes du plus haut degré de l'équation F(m, U) = o ne contient pas U en facteur, mais peut contenir en facteur une puissance de u. Ordonnons les termes de l'équation suivant les puissances décroissantes de U

Les lettres/ désignent des polynômes entiers en u : soient $^, 8,, ..., in leurs degrés. Celui des polynômes/ dont le degré est le plus élevé est le dernier, /m{^) ' car, si le terme du plus haut degré en u était multiplié par une puissance de U, il y aurait un des coefficients angulaires c qui serait infini; ce qui est contre l'hypothèse. Ainsi $„ est supérieur a tous les autres d. Si une puissance de u est en facteur dans les termes du plus haut degré de Téquation F = o, l'ordre de cette courbe sera égal au plus haut exposant de u, c'est-à-dire à à^. Si les termes du plus haut degré ne contiennent pas en facteur une puissance de t/, comme ils ne contiennent pas non plus en facteur une

l4 L. BAFFY.

puissance de U, leur degré est égal au plus haut exposant de u» c*est^ a-dire k i^- On voit que ^^ est dans tous les cas égal à Tordre de la courbe F = o. D'après cela, les degrés des polynômes /satisfont aux relations

qui expriment que Tordre de la courbe F = o est égal à J,„. Réciproquement, si ces relations ont lieu, on voit aisément que tous les paramètres c sont finis.

Faisons maintenant Thypothèse U = o. Quand U est nul, u ne peut

pas être infini, sans quoi le rapport tt serait infini; il en serait de

même si, u devenant infini, U restait fini. Ainsi u ne peut pas être infini sans que U le soit aussi. On voit que toutes les valeurs de u qui répondent à Thypothèse U = o sont fournies par Téqualion/„(a) = o.

Soit u = 6 une racine de cette équation. Transportons Torigine des coordonnées au point U = o, <i = &, en posant tt= 6 + u'. Au point

qui est maintenant Torigine, toutes les valeurs de la dérivée ^ doivent

être nulles ou finies et différentes de zéro. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que Tensemble des termes du moindre degré ne contienne pas U en facteur. Si b est racine d'ordre |3 de multiplicité, il faut et il suffit que les termes du moindre degré soient du degré ]3 : s'ils étaient de degré moindre, ces termes ne pourraient provenir que des groupes qui précèdent y^( 6 -+- m'); ils contiendraient en facteur une puissance de U- Exprimons que Téquation F(6h-w', U) = o ne contient pas de terme de degré inférieur à |3; nous avons cet énoncé :

Toute racine h d'ordre |3 de V équation fm{u) = o est racine d'ordre ^ — i au moins de l'équation /m-i{^) = o^ et ainsi de suite : elle est racine d'ordre ^ — kau moins de l'équation f,^i^{u) = o.

Réciproquement, s'il en est ainsi, tous les paramètres c\ sont finis.

12. Remarque /. — Ici, comme précédemment^ on n'a pas besoin de résoudre Téquation y^(ii) = o pour vérifier qu'aucun des c\ n'est infini. On n'a qu'à suivre la marche indiquée au n^ 9.

Remarque IL — L'équation F(a, U) = o peut contenir U a la pre-

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES. I ji

mière puissance. En voici un exemple bien simple : it est fourni par l'équation u=l} dont Tintégrale est z = Lu. Il y a ici un lerme en U. Les paramètres c et Cq sont égaux à i .

Autre exemple. — Soit Téquation

(a,U — m) («jU — u). . .(a,„,U — w) -h m*'*z^ o,

oii nous supposerons la^o. L'équation contient un terme en U. Les termes du plus haut degré se réduisent à u^" : tous les c sont nuls. Les 2/2 valeurs de u qui répondent à U = o sont les racines de l'équiition

«*'*-*( tt — i) = o.

A l'origine, les paramètres c^ sont précisément les nombres a,, ^2. . . . , a„. Transportant l'origine au point U = o, m = t, on voit immédiatement qu'en ce point Cq est égal à — (a^ -h aj -f- . . . -h a.2n~i )•

D'après cela, lc\^ est nul. Mais on a aussi le = o. Rapprochant cet exemple du précédent, on est conduit à penser que la relation le = lc\, est générale. C'est ce qui a lieu.

1 3 . Théorème VIL — Étant donnée une équation F (m, U) = o algébrique et irréductible, si les paramétres c et c\ sont tous finis, la somme algébrique des paramétres c est égale à la somme algébrique des paramétres c„ .

Autre énoncé :

Si une courbe algébrique F(j, a?) = o n^a aucune direction asymptotique parallèle à l'axe des y, ni aucune tangente parallèle à cet aœe aux points réels ou imaginaires ou elle le rencontre, la somme algébrique des coefficients angulaires c = - de ses directions asymptotiques

est égale à la somme algébrique des coefficients angulaires c' = ~- des tangentes aux points où elle rencontre l'axe des y.

Mis sous cette forme, le théorème devient presque évident. Effectuons une transformation usitée dans la théorie des asymptotes et qui consiste à poser

iG L. RAFFY,

(On voit que x représente U et y représente u.) L'équation f{y, x)=^o se change en /{y, x') = o.

Les paramètres c, désignant les diverses valeurs que prend le rapport ^ quand l'un de ses (ermes ou tous les deux deviennent infinis, re-

présentent maintenant les ordonnées y des points de rencontre de la courbe /= o avec l'axe des j"'.

Cherchons la signification des paramètres c^. On a

c'est-à-dire que les paramètres c^ sont les ordonnées à l'origine des asymptotes de la courbe /= o. Or on sait que dans l'équation d'une courbe algébrique d'ordre n et dans l'équation du système de ses asymptotes les termes de degré n et de degré n — i sont les mêmes : on a donc le = lc\^ ce qui prouve le Théorème.

Conséquence, — Il résulte de là que, quand les paramètres c et c^ sont tous finis et ne sont pas tous nuls, il y en a deux au moins qui sont difl'érents de zéro.

Celte remarque complète la démonstration du théorème III.

IT. — Conséquences relatives aux intégrales abéliennes.

14. Toute intégrale abélienne est une somme d'intégrales de première, de deuxième et de troisième espèce, plus une partie algébrique et logarithmique (*). Mais certains de ces éléments peuvent manquer; l'intégrale peut se trouver exprimée par des intégrales de deux ou d'une des trois espèces seulement, ou même se réduire aux termes algébriques et logarithmiques.

Notre premier théorème caractérise évidemment les intégrales qui s'expriment par une somme d'intégrales de première espèce.

(1) Pour les principes de la théorie des intégrales abéliennes et la définition des intégrales des trois espèces, voir Briot et BouQUirr, Fonctions elliptiques, Livre IX, Chap. I.

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALBS ABÉLIENNES. I7

Les intégrales abéliennes qui vérifient les conditions du second théorème peuvent contenir dans leur expression analytique des intégrales de première espèce, mais ne peuvent pas s'exprimer au moyen de ces intégrales seulement.

Les intégrales qui vérifient les conditions du troisième théorème ne contiennent dans leur expression analytique aucune intégrale de seconde espèce. Elles peuvent dépendre des intégrales de première espèce; mais elles dépendent nécessairement des intégrales de troisième espèce.

A raison de Timportance spéciale des intégrales de première espèce, nous indiquerons une règle pour reconnaître si une intégrale donnée s'exprime au moyen de ces intégrales seulement.

So\l/{x,y) =0 l'équation algébrique qui sert à définir l'intégrale proposée

Nous poserons

afin d'avoir

/dx

puis nous éliminerons y entre les deux équations /(a?, j) = o et

Soit F(^, U) = o l'équation résultante : la lettre x représente la variable précédemment désignée par u. Pour que l'intégrale z dépende seulement des intégrales de première espèce, il faut et il suffit que les paramètres c et c^ relatifs à l'équation F(a;, U) = o soient tous nuls. Nous avons expliqué plus haut comment on reconnaît s'il en est ainsi.