Exemple. — Étant donnée V équation

f(Xyy)z=z ly* — 5^' — x{ax^-\- 2bx -t-c)*=o,

on suppose que le trinôme ax^ 4- ihx -\- c na ni racine nulle, ni racines

l8 L. RAFFY.

égales : on demande si r intégrale

dx

dx

--rC.r*-^^Q.r-^A^,.

est de première espèce^ quelles que soient les indéterminées X, B» C, E.

Cette intégrale, ayant la forme canonique, reste finie pour a? = 00 Nous poserons, pour abréger,

Il vient

Nous avons à éliminer j entre les deux équations

L'équation résultante est la suivante :

9XU 4QU-3 2*aÇU — jrï«

4QU-3 !aC*U«-h2)iÇU 2CU(2QU -h i) - a:Ç« ^CÀÇU»

2C«U«-h'2>5U CU(8QU-i)-xÇ« 2C>ÇU*-h(4QU-3)(2QU-hi) )4U(4QU-3)

2CU(2QU-f-i)-xÇ« 2CXÇU»-+-{4QU-3)(2QUh-i) aÇU(8QU - i)-f-CUxÇ« aX*pU'

Faisant U = o dans le premier membre de cette équation, on obtient le terme indépendant de U : ce terme est

j7 S* ( j;* Ç* -t- 3*) = (ajc'-h 2bx -\- cY x[x^ {a x* -^ 'xbx -f-c)®4- 27].

Les seules racines multiples de ce polynôme sont les racines du trinôme 5 = ax^-+- 2bx-\'C, Pour que l'intégrale proposée soit de première espèce, il faut et il suffit que le coefficient du terme en U soit nul, ce qui a lieu, et que de plus le coefficient du terme en U^ soit divisible par § (n®* 8 el 9). En calculant ce coefficient, on reconnaît que c'est un polynôme entier en § sans terme indépendant.

Donc l'intégrale proposée est de première espèce, quelles que soient les indéterminées X, B, C, E.