Exemple. — Étant donnée V équation

l>-f-x(a:"4-7x«-j-9)UsH-a7V^*'4-8a:'— 4)U*

H- j?* ( x*^ -h 2 ^' -H ^' — x' — 7 ^* — I o x* — 3 J7* -t- 6 o.'* -}- 9 j:' -f- 3 X — I ) LI* — x^{x^^-\- 3 a?" 4- 3 j?" 4- x^^— lOJ?® — 28^:*— 24^'— f\x^

-h 27 .r* 4- 65 jr^ -h 46^' — 2 j;* — 7 j:^ 4- 1 ) -= o,

on demande si V intégrale z ■=. i -^ est de première espèce.

On voit que le terme du degré le plus élevé dans cette équation est le terme x^^\ en conséquence tous les c sont nuls.

Pour savoir si les c^ sont nuls, appliquons la méthode des racines égales au polynôme qui multiplie x^ dans le ternie indépendant de U : on trouve que ce polynôme est égal à (a? 4- \f{x^ — 5a; -h i)*. Par suite, le terme indépendant de U est égal à

Le coefficient de U^ est divisible par a?* ; celui de U' par x^^ celui de U* par a?^, et celui de U* par x : les conditions relatives à la racine x = sont vérifiées.

Poufr que l'intégrale soit de première espèce, il faut encore que le coefficient de U^ soit divisible par {x •+• iy{x^ — Sa? 4- i), et que le coefficient de U' soit nul pour x = — i : on voit immédiatement que cette dernière condition est vérifiée.

H reste donc à étudier le coefficient de U^ : en appliquant la méthode des racines égales a ce polynôme, on trouve qu'il est égal à

(a? 4-1)* (»r*— o?^ — 5^7*4- ^'4- 5jr — i).

Ainsi la condition relative à la racine de Téquation j; + i = o est vérifiée. Divisons a?® — a;' — 5x* -h a?' H- Sa? — i par a:* — Sa? -h 1 : la division se fait exactement et le quotient est x^ •-- 1.

D'après cela, l'intégrale proposée est de première espèce.

ao fc. RAFFY.