I. — Nature de Tintégrale u

17. Nous allons maintenant nous occuper du cas où l'intégrale u d'une équation différentielle algébrique F(w,U) = o est bien déterminée, c'est-à-dire n'a en chaque point z qu'un nombre limité de valeurs. On sait que, quand il en est ainsi, la fonction u est racine d'une équation algébrique ayant pour coefficients des fonctions entières, soit de la variable z, soit de l'exponentielle e^^, soit de la fonction doublement périodique sn(joz). Ce théorème est dû à MM. Briol et Bouquet (•)•

Nous nous proposons de résoudre le problème suivant :

Supposant que l'intégrale u est bien déterminée^ reconnaître si elle est algébrique, simplement périodique, ou doublement périodique.

La solution de ce problème est donnée par un théorème que je vais établir.

18. Théorème. — Si T intégrale est doublement périodique, les paramétres c et Cq sont tous nuls.

Si V intégrale est algébrique, un au moins des paramétres c et c^ est infini, et aucun d'eux n^ est fini et différent de zéro.

Si r intégrale est simplement périodique, les paramétres c et c\sont tous finis, mais non pas tous nuls, et ceux qui ne sont pas nuls forment une suite de nombres tous commensurables entre eux.

(*) Recherches sur la théorie des fonctions {Journal de l'École Polyi,, XXXVI* Cahier, troisième Mémoire : Intégration des équations différentielles au moyen des fonctions elltptiques).

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES LNTÉGRALES ABËLIENNES. 21

Ce théorème résulte des trois théorèmes démontrés au début du Chapitre I.

Supposons d'abord que l'intégrale u soit racine d'une équation {

algébrique ayant pour coefficients des fonctions entières de sn(|Os). Posons pour un instant a? = sn((9J5). L'équation intégrale sera f[u,^x) = o, /étant un polynôme entier en u et a?.

A chaque valeur de arépondrontun certain nombre de valeurs de a?; et l'onsaitqu'à chaque valeur de x correspondent deux valeursde z, si Ton fait abstraction des sommes de multiples de périodes. Ces valeurs de z sont toujours finies, que x soit fini ou infini; elles ne deviennent infinies que par l'addition de multiples infiniment grands des deux périodes. Nous sommes donc dans le cas du théorème I; les paramètres c et c'o sont tous nuls.

Supposons maintenant que l'intégrale u soit une fonction algébrique de z : jz est une fonction algébrique de u. Comme telle, elle devient nécessairement infinie pour une valeur au moins de u, et elle n'admet dépeint singulier logarithmique d'aucune sorte. Nous sommes donc dans le cas du théorème II ; un au .moins des paramètres c et c^ est infini, et aucun d'eux n'est fini et différent de zéro.

Supposons enfin que l'intégrale u soit racine d'une équation algébrique ayant pour coefficients des fonctions entières d'une exponen* tielle eP*. Posons x = e^^. L'équation intégrale seray(tt,ic) = o, /étant un polynôme entier en u eto?. Son degré par rapport à x est égal au degré \l de l'équation F(w, U) = o par rapport à U. A chaque valeur de u correspondent |x valeurs de x. A chaque valeur de x répond une

valeur de j5,z =:-La?, en faisant abstraction des multiples de la période polaire Tant que a?n'est ni nul ni infini, z reste fini ; mais, quand x

devient infini, z devient infini aussi.

Supposons d'abordqueo? soit infini pour une vale^ur finie de u, u = h.

On aura

- :=.h{u — bY '\ >

d*où, en prenant les dérivées logarithmiques des deux membres et

22 L. RAFFY.

on réduisaot le second à son terme principal,

dz q ï i

du P ? ^^

Ainsi le point u = b est ce que nous avons appelé un point singulier logarithmique simple; à ce point correspond la période polaire

2p— ^ = 2 —q; et nous avons montré qu'on a cô = - - : y et /? étant

des entiers, tous les paramètres Cg sont commensurables avec--

Si X devient intini pour une valeur infiniment grande de u, on posera u = -ei Ton aura

d'où résulte

dz q \ \

dv R 9 ^

Le point (^= o est un point singulier logarithmique simple pour la

fonction z ; il donne la période polaire 2 y» — - et Ton a c = - - • Nous

sommes dans le cas du théorème III : les paramètres c et cô sont tous finis (mais non pas tous nuls) et nous venons de voir qu'ils forment

une suite de nombres commensurables avec -y c'est à-dire tous com-

mensurables entre eux. De plus ils vérifient la relation le = Ic^^ établie au n^'lS.

19, Auire énoncé. — On peut donner du théorème précédent un autre énoncé, qui rappelle une proposition due à MM. Briot et Bouquet (*).

Théorème. — Si f intégrale u d'une équation différentielle algébrique F[UflJ) = est bien déterminée et doublement périodique^ les racines pulles que l'équation F (m, U) = o admet pour des valeurs ^nies de u et celles que la transformée admet pour ^ = o sont toutes d'un degré inférieur à r unité.

( ' ) Fonctions elliptùjues, p. 887.

RECUERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 23

Si Vintégrale est algébrique, les racines nulles que Véquation F (a, U) = o admet pour des valeurs finies de u et celles que la transformée admet pour t^ == o sont toutes d'un degré différent de V unité : une nu moins est d'un degré supérieur à l'unité.

Si r intégrale est bien déterminée et simplement périodique, les racines nulles que l'équation F(a, U) = o admet pour des valeurs finies de m, et celles que la transformée admet pour ç = o sont toutes d'un degré inférieur ou égal à l'unité : deux au moins sont d'un degré égal à l'unité.

Ce ihéorème résulte immédialement des trois premiers théorèmes du Chapitre précédent et de la relation le = lc\.

Remarque. — Le théorème précédent fait connaître des conditions /i«ce5^ai>e5 pour que l'intégrale £/, supposée bien déterminée, soit de telle ou telle nature. Il esta peine besoin de dire que ces conditions ne suffisent pas tn général pour que cette fonction soit bien déterminée. Nous signalerons dans la suite (n^' 34 et 57) deux cas ou ces conditions suffisent pour qu'il en soit ainsi.

Marche à suivre pour reconnaître la nature de Vintégrale u.

20. Les caractères que notre théorème assigne aux trois classes d^intégrales sont exclusifs^ ce qui va nous permettre de reconnaître la nature de Tinlégraie w, en supposant cette intégrale bien déterminée.

A la seule inspection des termes de l'équation F(w, U) = o, on voit

si les paramètres c ont des valeurs nulles ou infinies. En posant 17 = ^1

on déduira des termes du plus haut degré de cette équation l'équation quia pour racines les valeurs finies de c: c'est l'équation aux coefficients angulaires des directions asymptoliques de la courbe F= o. En éliminant u entre les deux équations

on obtient une équation entre c' et U : pour U= o, cette équation fournit les diverses valeurs finies ou infinies des paramètres c\. Si les paramètres c et c\ sont tous finis, mais non pas tous nuls, on

24 L. RAFFY.

a à rechercher s'ils sont tous commensurables entre eux, (l*où ce problème :

Problème. — Étant donnée une équation algébrique entière f[x)-= q dont les coefficients sont commensurables ou incommensurables ^ ou imaginaires, reconnaître si toutes les racines de cette équation sont commensurables entre elles.

L'équation proposée peut toujours, après suppression des racines nulles, si elle en a, se nnetlre 3ous la forme

x'^ — Si ar'»-' -h S, a?'«-* -h . . . -h (— I )« S;„ = o.

Soient 0?!, a?2, or,, ..., a?,„ ses racines; et soient X2, X,, ...,^m les rapports, tous commensurables, de x^^ a?,, .. ., 07,^, à a?,. Supposons d'abord S| différent de zéro. On posera

r- sera

et il est visible que la racine y, = -— = — r r

commensurable; par suite, toutes les«racines de l'équation en y seront commensurables.

Supposons maintenant S4 = o. La somme des carrés des racines de l'équation proposée ne peut pas être nulle, car on a2â?f = â;'2Xf et tous les X sont réels : la somme de leurs carrés n'est pas nulle.

Par conséquent, si l'on forme l'équation transformée en

la somme de ses racines ne sera pas nulle. On est donc ramené au cas précédent. On vérifiera alors sans difficulté que l'équation en y a toutes ses racines commensurables entre elles, en même temps qu'on les obtiendra toutes. 11 faudra alors exiraire les racines carrées des valeurs trouvées et constater que les rapports de m — i d'entre elles à la m'*"* sont commensurables; car il est clair qu'on peut faire abstraction du double signe. Par ce dernier procédé, on aura toutes les racines de l'équation proposée /(a?) = o, et les quantités égales et de signes contraires. Il sera facile d'écarter celles de ces valeurs qui ne sont pas racines de f[x) = o.

On pourra encore se contenter d'obtenir une des racines de l'équation aux carrés : soit a cette racine. On posera

y/a désignant l'une quelconque des deux racines carrées de a, choisie arbitrairement. On n'aura plus alors qu'à vérifier que l'équation en 2 a toutes ses racines commensurables, et du même coup on obtiendra toutes les racines de l'équation /(j?) = o.

En résunoé, on peut toujours reconnaître si toutes les racines d'une équation algébrique sont commensurables entre elles, et, s'il en est ainsi, les obtenir toutes explicitement.

Je ne m'arrête pas à donner d'exemple de celte méthode, les opérations qu'elle comporte étant tout à fait élémentaires.

Quand on aura reconnu que tous les c sont commensurables entre eux et que tous les c^ sont commensurables entre eux, il restera à vérifier si l'un des c arbitrairement choisi est commensurable avec un des c^ choisi de même. On pourra, d'ailleurs, se dispenser de cetle vérification si les deux sommes 2c et Ic^ sont différentes de zéro; car leur égalité exige que les c et les c[ soient tous commensurables entre eux, si les c et les c^ le sont séparément entre eux.

21. Exemples. — Nous avons donné au Chapitre I des exemples des trois formes d'équations qui correspondent aux trois cas du théorème précédent. Nous en rencontrerons d'autres; en voici deux que j'emprunte aux travaux d'Abel et aux recherches de M. Tchebicbef.

Exemple I. — Soit l'équation

le polynôme sous le radical est supposé n*avoir que des racines simples.

Les valeurs de c sont évidemment c = ±i. Quant aux valeurs de c^^ en multipliant les deux membres de l'équation proposée par le binôme u — b, oh b désigne une des racines du radical, on voit que tous les

26 L RAFFY.

paramètres c^ sont nuls. Donc, si Tiniégrale u est bien déterminée, elle est simplement périodique.

Ahel a, en effet, montré que si la différenlielle (//-+- ) ft

s'iniègre en termes finis, son intégrale est nécessairement de la forme

- = L(P-f-Q\/w* -*-«"' -*-i3M'-l-7M H- J), P et Q représentant deux polynômes entiers en u. Il a de plus donné le moyen de former tous les polynômes w^ -f- au' -i- /3m^ h- yw -h 5 tels que, pour une valeur convenable de A, la différentielle , s'intègre par un

seul logarithme, et il a indiqué comment on calculera A dans chaque cas particulier (*). La question inverse : Étant donnée la différentielle

" - - dont les coefficients sont connus, reconnaître si

son intégrale est de la forme L(P •+- QvV +...), présente de grandes difficultés. Elle a été résolue par M. Tchebichef (^) dans le cas où les coefficients ol, |3, y et S sont commensurables : la méthode de M. Tchebichef a élé exposée par M. Zolotareff, qui est parvenu ensuite (*) a résoudre le même problème en supposant que a, |3, y et ^ soient des entiers complexes; les deux méthodes exigent qu'on sache trouver les racines du radical.