CHAPITRE m. — PIÈCES COURBES A FLEXION PLANE

La différence des équations (i) et (2) donne la relation

Y + Y"-P— P'— ypa— ^/a = o; d'oii

Y -h ¥"= P -f- Fh-/?« -h ^/a.

Siibstituànt cette valeur dans l'équation (5), on en tire

Par suite, en vertu de l'équation (6), on obtiendra

(8) Y = 5^p^(2P + F+;7aH-^/^'a)H-i/a; et, puisque Ton connaît Y h- Y'^, on calculera Y'^:

En remplaçant dans l'équation (2) Y^' par sa valeur, on trouvera

(10) -Y'=V-^P'-^lpa-'Ç(^2P-+-P'^pa-{^'^p'ay Enfin X' et son égal X''^ se déduiront de l'équation (4) :

Les expressions (7), (8), (9), (10) et (11) donnent la solution du problème. Nous y avons substitué les données numériques des n°' 68 et 69,

d'après lesquelles on a F= -a et approximativement y= o,23F; voici les résultats :

— X = 3P-h i,5P'4- i,5/?a + o,375ya,

X'= — 3,52?+ i,5P' — o,i3/;a-l- o.SySp^a, Y =i,54P + o,77P'H-o,77/?a + o,44/?'a,

— Y'= o,54P H- 0,77 P'+ o,27/?a — o,o6/?'€?., Y''= — o,54P-f- o,23P'H-o,23/?aH- o,o6/?'a.

l^G FLEXION ET RESISTANCE DES PIECES COURBES.

Sauf la disparition du terme représentant 1* effet de la dilatation produite par des causes étrangères aux charges, on retrouve bien ici en quelque sorte la physionomie des valeurs obtenues par les calculs qui précèdent. Cependant on voit qu'en supposant des articulations à la pièce principale en E, B, F, on s'est encore plus éloigné qu'au n** 69 des réactions trouvées au n*^ 68, lorsqu'on tenait compte de la rigidité parfaite des assemblages.

Nous remarquerons encore un fait assez intéressant. Reprenons les trois valeurs de X' que nous avons successivement données dans les n*^ 68, 69 et 70, en nous bornant à écrire les termes en P et P', ou, si l'on veut, en supposant/? = o, p'=^ o, A=^ o. Ces valeurs sont:

X'-- — 0,8075 P -h 1 ,098 1 P', X'=— i,2288P + o,96i8P', X'=-3,52P+ i,5oP'.

On voit que P^ et, plus encore, P sont affectés de coefficients variables dans les trois formules ; mais ces formules s'accordent sur un point, c'est que P est affecté d'un coefficient négatif et P' d'un coefficient positif, en sorte que si l'arc était chargé seulement en son milieu, X' aurait le signe — , et s'il était chargé en E et F tout à la fois, avec des poids égaux, X' aurait le signe H-. Or X'', réaction de l'appui sur le contre-fort, est égal à X' et a par conséquent même signe, ou bien encore la force exercée par le contrefort sur l'appui a un signe contraire. Ainsi donc, si la charge était concentrée au sommet de l'arc, l'appui G devrait résister à une force parallèle aux x positifs qui tendrait à le renverser en dehors, c'est-à-dire à une poussée; si la charge agit vers le milieu des reins, symétriquement, cette poussée se changera en une traction, tendante à produire un renversement à l'intérieur (*).

Le poids uniformément réparti /?a entre dans les trois valeurs de X^, avec des coefficients relativement petits ; ces coefficients sont : 0,8291, o,o46o, — 0,1 3. Ainsi le poids /;a, réparti d'une manière uniforme sur la pièce

{*) M. Pugnet, ingénieur des Ponts et Chaussées, au service de la Compagnie des ponts Vergniats, a qui nous avions signalé ce fait, nous a dit Tavoir vériiié par une expérience en petit.