CHAPITRE III. — PIÈCES COURBES A FLEXION PLANE. l

dépendant seulement des dimensions de la pièce, les trois constantes, en premier lieu, et conséquemment les trois variations Aa, Ao?, Aj d'un point quelconque auront des expressions de la forme

I.e coefficient C^ sera nul quand il s'agira d'une variation angulaire A a.

Lorsque l'on suppose toutes les forces F, F, , Fg, etc. , et le coefficient de dilatation A nuls, à l'exception d'une seule de ces quantités, on obtient siucessivement tous les termes de l'expression précédente. Donc on peut conclure les énoncés suivants :

1°. Les trois éléments de la flexion en un point quelconque, ccst-a-dive les "variations de ses coordonnées et de l'inclinaison de la section normale, sont des fonctions linéaires, sans terme constant, des forces extérieures et du coefficient de dilatation.

si°. l^s mêmes quantités peui^ent se calculer en additionnant les valeurs qu elles prendraient, si chacune des causes de flexion agissait séparément, toutes les autres étant supprimées.

Ainsi l'effet spécial dû à chaque force n'est pas altéré par la présence des autres : les déformations se superposent pour donner l'effet total. Cette conséquence n'aurait pas pu être établie, si les déformations n'avaient pas été supposées très-petites; elle serait également infirmée, si le coefficient de dilatation A n'était pas indépendant des charges ; par exemple, si la chaleur ne dilatait pas également une barre tendue et une barre comprimée, ce que, à notre connaissance, les physiciens n'ont pas vérifié.

74. Expression des forces inconnues en fonction des forces données. Conséquence relatiçe aux éléments de la flexion. — Distinguons les forces extérieures qui agissent sur chacune des pièces composant le système considéré, en deux groupes : le premier comprendra celles qui sont des données immédiates; le second, celles qui sont inconnues à priori et que l'on doit déterminer d'après les conditions du problème, suivant les procédés qui ont été indiqués dans le§ V. Gomme on l'a vu, les équations que l'on doit poser à cet effet sont de deux espèces différentes. La première espèce d'équations est fournie par la statique des systèmes invariables : on égale à

I 5o FLEXION ET RESISTANCE DES PIECES COURBES.

zéro soit la somme des moments des forces par rapport à un points soit la somme de leurs projections sur une droite déterminée. Il est clair que par ce moyen on obtient toujours des équations dans lesquelles toutes les forces, données ou non, entrent au premier degré, sans terme indépendant. Les équations de la seconde espèce sont celles que Ton trouve en exprimant que tout point qui glisse sur une courbe fixe se meut suivant la tangente à cette courbe, en égalant à zéro les déplacements absolus de certains points immobiles, ou les variations angulaires des encastiements fixes, ou les différences de ces quantités pour certains points, avec les quantités analogues évaluées pour les mêmes points, considérés comme appartenant à une autre pièce (n"" 65). De toute manière, si Ton a pris pour inconnues les composantes des forces cherchées suivant deux directions rectangulaires et leurs moments par rapport à des points déterminés, on pose toujours (n° 73) une série d'équations dans lesquelles toutes les forces et le coefficient A entrent au premier degré, et où il n'y a pas de terme indépendant de ces quantités.

Toutes les équations qui serviront à déterminer les forces inconnues seront donc des équations du premier degré, dans lesquelles le terme indépendant des inconnues sera une fonction linéaire, sans terme constant, des forces données et du coefficient de dilatation. Or on sait que dans un système d'équations du premier degré, les inconnues sont des fonctions linéaires des termes qui en sont indépendants ; donc on arrive à cette conclusion :

I®. Les composantes des forces inconnues suivant deux directions rectangulaires et leurs moments par rapport à des points déterminés sont des fonctions linéaires des forces données et du coefficient de dilatation Pv, san^ terme constant;

2**. Les mêmes composantes et moments peuvent se déterminer en faisant la somme des valeurs qu'on obtiendrait, si Von conservait une seule des causes qui les produisent, toutes les autres étant supprimées.

Les causes sont ici les forces données et le coefficient de dilatation.

Nous avons vu au n*^ 73 que les trois éléments de la flexion, en un point quelconque de la fibre moyenne, c'est-à-dire les trois quantités A», Ao?, Ar^ sont des fonctions linéaires des forces extérieures et du coefficient de dilatation A, sans terme constant. Si l'on imagine que dans leurs expressions on remplace les forces extérieures inconnues par leurs valeurs en fonc-