CHAPITRE III. — PlàCES COURBES A FLEXION PLANE. l

d'application dans la même section normale, et introduisant simultanément un couple formé de la force primitive et d'une force égale et contraire à la force transportée. Il est évident que de cette manière M et N restent les mêmes pour une section quelconque.

En général, on peut faire sur les forces tous les changements qui pour une section arbitrairement choisie ne modifient pas les quantités M et N, dont on connaît la définition.

77 . Propriété des arcs symétriques mais non symétriquement chargés . — Lorsqu'im système de pièces est symétrique par rapport à une ligne, sans que les forces soient distribuées symétriquement, il existe entre les circonstances de la flexion dans les points symétriques une relation dont on pourra quelquefois tirer parti.

Prenons pour axe des ordonnées la ligne de symétrie, et une perpendiculaire pour axe des abscisses; soient or, y les coordonnées d'un point de la fibre moyenne appartenant à l'une des pièces du système; « l'inclinaison de la section normale en ce point, par rapport à une direction fixe ; x' ^ y\ ol les mêmes quantités, relatives à un point symétrique du premier. Toutes ces quantités, après la flexion, auront varié respectivement de Lx^ Ay, àcc, àx\ Aj', Aa'. Maintenant imaginons qu'on rende symétrique le système de forces données (F) en doublant par des forces symétriques celles qui en seraient dépourvues; alors le point {Xj y) éprouvera les variations Ajc^, A/^, A«,, et ces quantités seront pour l'autre point — Aa?,, Aj,, — Aa^. De même, si au lieu de doubler toute force dépourvue de sa symétrique, on la supprime complètement, on aura au point (a:, y) les variations Aa:^, A/, A «2, et à l'autre, — Ax^^ Aj^, — Aa^. Désignons par {F\) et (F^) les systèmes de forces auxquels répondent respectivement Ao;, et Ax^. Lorsque l'on passe du groupe (FJ à (F), les variations

^^2> A>'2^- ^«2. — A^2^ Ar2^ — ^«2?

deviennent respectivement

Ao:, Aj, Aa, Ax\ A/', Aa^ Donc les variations qui se produiraient si les forces dépourvues de leur

on

ao

l54 FLEXION ET R^SISTANCfi DES PIEGES COURBES.

symétrique et faisant partie du système (F) agissaient seules, seraient

ÙlX — Ajîj, Aj — Ajj, Aa — Aajj, Aj;'h- Ax,, Aj' — A/j, Aa'H-A«j.

Au lieu des forces qui produisent ces variations, si Ton fait agir un groupe symétrique (c'est-à-dire celui qu'il faut introduire pour passer de (F) à (F,), il est clair que les déplacements produits au point (a;, y) seront symétriques de ceux qui avaient lieu au point (a:', j'), et par suite ils auront pour expression

— àx' — Ao^j, Ar' — Ajj, — Aa' — A^av

Doue, lorsque toutes les forces (F, ) agiront, on aura pour. les variations du ppint {x, y) (n^ 73) :

ùlX^ = A^ — Aa;' — Aojjj ,

Aa, == Aa — Aa' — Aa^, d'où l'on tire

tix^ H- Aa^2 = tix — àkX^

Aa, H- Aa^ = Aa — Aa .

Ainsi, par cela même qu'on aura cherché la déformation par l'action de groupes de forces symétriques, on aura, quand les forces seront autrement distribuées, des relations très-simples entre les variations se rapportant à deux points symétriques.

Nous aurons encore à dire la même chose au sujet des forces inconnues, et la démonstration serait absolument identique. Les axes des coordonnées étant toujours définis comme nous venons de le faire, appelons X, Y les composantes de Tune des réactions inconnues, fzXe couple correspondant (c'est-à-dire le moment de cette réaction par rapport à un point déterminé) ; X', Y', fji' les mêmes quantités pour un point symétrique ; X^ , Y^ , ^, , Xj,, Y 2, ^j ce qu'elles deviennent pour le premier point quand on substitue