CHAPITRE IV. — POUSSÉE DES ARCS CIRCULAIRES^ ETC. l6l

Donc

I ( j'"^ jrfx'nr=-t- j (cosa — oosy)(cosa — cosÇjH- -ïSin (pcos^a r/ar

~ 7 ^ — -sin9 cosÔ — sinô cos(p -f- ôcosâ coscp + ^ — jsin^(p (9 + sinô cosÔ) •

D'ailleurs le dénominateur de la fraction qui exprime la valeur de la poussée reste le même que dans le cas précédent : c'est la moitié du dénominateur de la formule (i3). Donc on a

-0 Os'mOcosÔ — siii0cosy-|-6cos6cos(pH jsin*^(8-|-sin0cos6)

(•4) iQ,= S-^ ^ — (i^T-^"

y + 2^ cos*(p — Ssiiiy costpH -j sin'<p (y 4-siny coso))

Connaissant Q^ on en déduit aisément, comme nous venons de le voir, les poussées réelles Q et Q\ Il est clair d'ailleurs que si la force S venait à changer de sens, il en serait de même de Q^. En représentant par — Q^ la valeur que Ton obtiendrait alors, on aurait

Q=-iQ.--:s,

Il existerait en B une force égale à la demi-somme des forces Q^ et S, dirigée vers les x positifs ; en A agirait une force égale à la demi-différence de S et de Q^ , dirigée dans le sens de la plus grande de ces deux forces. Il faudrait encore, bien entendu, joindre à ces composantes horizontales les composantes verticales correspondantes.

83. Poussée due à £ action d'un couple. — En troisième lieu, considérons le cas où un couple de moment fz serait appliqué à la section normale faite en C. Ce couple est situé dans le plan de l'arc, et nous supposons qu'il tend à faire tourner dans le sens des moments positifs.

On déteniiinera la réaction verticale P, en prenant les moments relativement au point A, ce qui donnera

2aP = A6, d'où P=^.

ai

l63 FLEXION ET BEglSTANCE DES PIECES COURBES.

On a d'ailleurs pour les conditions de l'équilibre de translation,

Les deux poussées Q et Q' étant égales, chacune d'elles sera moitié de la poussée Qi qu'on obtiendrait en ajoutant un couple symétrique du premier (n** 78). Après cette addition, la réaction verticale P serait nulle : donc on aurait

Entre a=o et a = ô W = /u.

Entre a = ô et a = (p M' =: o^

Dans toute l'étendue de l'arc N'= o.

Par conséquent

L'intégrale du dénominateur est déjà connue, puisque c'est la même que dans les deux cas précédents. Quant au numérateur, on posera

t dx^'^t 1 {^^^^^^^^)<^^'=^ j(sinô — 9cos(p). On aura donc

(sin0 — ôcosç)

(i5) Q== IQ. =.^ ^ '— ôT— — -:

(p+ 2 <p cos'^) — 3 sinf cosf H ^ sin'y (tp + sin^ cos y)

Si le sens de ^ était contraire à celui que nous avons supposé, il n'y aurait qu'à changer son signe dans cette expression ; la même chose aurait lieu si l'on plaçait le couple dans la section faite au point G, pour lequel ô est le même en valeur absolue. On peut donc regarder la formule (i5) comme générale, à la condition de donner à /u un signe d'après la convention établie