CHAPITRE IV. — POUSSÉE DES ARCS CIRCULAIRES, ETC

pour les moments M {n? 43), et de regarder ô comme positif ou négatif suivant qu'il sera compté à droite ou à gauche de la verticale. Le signe qui affectera la valeur de Q montrera si cette force est dirigée comme l'indique la figure, ou en sens contraire. Ainsi quand /ul est positif, ainsi que ô, Q est négatif d'après la formule (i 5) : l'arc tire ses appuis au lieu de les pousser.

84. Poussée due à une dilatation résultant de causes indépendantes des charges. — On obtiendra la poussée qui se produirait, indépendamment de toute force agissant sur l'arc, en vertu d'une dilatation de sa fibre moyenne par l'effet de la température ou du calage, si Ton fait dans la formule (12) M' = o, N'= o. On trouvera

c/o \~^ e ds )

ou bien, en substituant au dénominateur la valeur calculée au n** 81,

(p-|-2Q>cos*<p — 3siii(})cosy-+- -Y sin'y ((p-f-sinycos^

Cette expression de Q est bien identique à celle que nous avons adoptée au n° 57, car on a p sin(p = a; on peut encore l'écrire comme il suit, en remplaçant g par eG^ :

(iG) Q =

aeAsin*© • — r

9+2ycos*ç — 3sîn(pcosy-f- — ^-sin'ç (y-f-sinycosç)

Dans le cas où, au lieu d'une dilatation, il existerait en réalité une contraction, ce qui peut arriver si la température est suffisamnfent basse, la même formule donnera encore la réaction horizontale des appuis : seulement cette réaction serait une traction au lieu d'être une poussée.

On remarquera en outre que, si aucune force n'agit sur l'arc, en dehors des points A et B, les appuis ne pourront pas exercer de réaction dans le sens vertical ; car les forces qui proviennent de ces appuis devant se faire équili-^ bre sont nécessairement dirigées suivant la ligne qui les joint.

ai.

l64 FLEXION ET RESISTANCE DES PIECES COURBES.

§ IL — Recherche de la poussée produite par des forces quelconques et

par la dilatation.

85. Ca^ d'un arc soumis à des forces discontinues quelconques et a une dilatation produite par d autres causes. — Nous prendrons maintenant un arc satisfaisant toujours aux conditions du n"" 79, et nous supposerons qu'il éprouve d'une part l'action d'un nombre quelconque de forces, et en second lieu une dilatation linéaire provenant d'autres causes, comme les changements de température et le calage.

D'après ce qu'on a vu aux n*** 76 et 74, on peut d'abord remplacer chaque force par deux composantes, l'une verticale, l'autre horizontale, appliquées toutes deux au centre de gravité de la section sur laquelle agit la force primitive, et par un couple; puis faire la somme des poussées produites sur chaque point d'appui par toutes ces composantes et par la dilatation linéaire, considérées comme agissant successivement, chacune à l'exclusion de toutes les autres. Or les formules (i 3), (i4)î (i 5) et (i6), qui viennent d'être établies dans le § I de ce chapitre, permettent de calculer les différents termes de cette somme : donc on a le moyen de connaître les poussées totales Q et Q' qui sont exercées sur les deux appuis.

Quant aux réactions verticales P, P', leur détermination n'exige que remploi de la statique ordinaire des systèmes invariables. On a vu au n** 59 comment on peut les obtenir.

86. Ca^ où il existe des forces réparties dune manière continue. — IjC (»as où il existe des forces réparties d'une manière continue peut être considéré comme la limite de celui qu'on vient d'examiner. Pour passer de l'un à l'autre, il suffit d'imaginer que les diverses forces considérées au n** 85 décroissent de plus 'en. plus, et qu'en même temps leurs points d'application se rapprochent indéfiniment les uns des autres. Quelle que soit la grandeur des forces et la distance des points sur lesquels elles agissent, la poussée horizontale s'obtiendra toujours en faisant la somme des poussées dues aux actions séparées des diverses forces élémentaires. Par conséquent, lorsqu'il s'agira d'une répartition continue, on devra chercher l'intégrale d'une poussée infiniment petite, entre des limites déterminées.