CHAPITRE IV. — POUSSÉE DES ARCS CIRCULAIRES, ETC. l

Supposons, par exemple, qu'il y ait une charge répartie d'une manière continue entre les sections normales qui font avec la verticale les angles fi^ et ôj : soit Fd9 la force qui sollicite la partie de la pièce dont la fibre élémentaire moyenne correspond à l'angle dQ] soit en outre dQ la poussée infiniment petite qui serait exercée sur l'un des appuis, dans le cas oii la force FdQ existerait seule. Cette poussée dQ se calculera au moyen des formules (i3), (i4) et (i5), en faisant la somme de trois poussées dues aux deux composantes de FdQ suivant les axes coordonnés, et au couple provenant du transport de cette force au centre de gravité de la section sur laquelle elle agit. On trouvera ainsi

dQ=z{k-^m-\-n)Fdê, ^, m et n désignant des quantités qui sont fonctions de 9; d'où l'on tirera

m-i-n) FdQ.

Un procédé approximatif qui sera souvent susceptible d'être appliqué avec avantage, consisterait à partager la portion de pièce comprise entre les sections répondant aux angles 0, et fl^, en plusieurs parties pour lesquelles on déterminerait à part l'intensité et le point d'application de la résultante des charges. Dans le cas où l'on aurait eu soin de prendre le nombre de ces parties assez grand pour que ciiacune d'elles ne répondît qu'à une faible fraction de la pièce entière, on pourrait négliger dans cette étendue les petites variations des quantités A, m, /î, et déterminer la poussée comme si l'on avait une série de forces discontinues, dont chacune serait une des résultantes partielles par lesquelles on aurait remplacé la charge totale. Par exemple, si l'arc supportait une charge d'eau, on partagerait la fibre moyenne en quinze ou vingt parties, ou un nombre moindre, suivant le degré d'approximation désiré; on chercherait, par les procédés connus, la pression totale répondant à chacune de ces parties, et on regarderait l'ensemble de ces résultantes comme pouvant être substitué à la charge primitive. De cette manière le problème est ramené aux termes du n® 85.

Nous allons donner quelques exemples de la détermination des poussées horizontales par une intégration.

l66 FLEXION ET RESISTANCE DES PIÈCES COURBES.

87. Premier exemple : Poussée produite par le poids de tare ou par un poids uniformément réparti sur une certaine portion de sa longueur. — L'exemple qui se présente naturellement le premier, consiste dans la recherche d'une poussée horizontale dont nous avions fait abstraction tout à l'heure : nous voulons parler de celle qui est due au poids propre de l'arc. Cette question est un cas particulier de celle qui a pour objet de trouver la poussée horizontale produite par un poids réparti uniformément suivant la longueur de la fibre moyenne, entre deux points quelconques de Tare : c'est ce problème plus général que nous allons résoudre d'abord.

Soient/? le poidsqui agit sur l'unité de longueur de la fibre moyenne, Ô< et ô^ les angles limites entre lesquels agit la charge totale, exprimée par/^p (ôj, — 0,) . Nous supposerons que le poids élémentaire pfd^ qui correspond à une portion d'arc comprise entre les angles ô et ô -h e/ô, est appliqué à la fibre moyenne. C'est ce qui arrive, par exemple, si l'on ne considère que le poids propre d'un arc homogène, mais cela ne serait pas rigoureusement vrai, si l'on y ajoutait une surcharge uniforme reposant directement sur les points les plus élevés de la pièce. Chaque élément de cette surcharge, agissant au point supérieur d'une section inclinée, devrait être ceporté sur la fibre moyenne en un point n'appartenant pas à sa propre verticale, ce qui donnerait lieu en même temps à l'introduction d'un couple. Toutefois, en pratique, on conçoit bien que, eu égard aux incertitudes de la théorie, il ne convient pas de s'arrêter à d'aussi minutieux détails.

Cela posé, la poussée infiniment petite 6?Q, produite par le poids /^pes^fl qui charge l'élément prfô de fibre moyenne, aura pour valeur, d'après la formule (i 3) (n^81):

- (sin*(j) — sîn*0)-4-cos(p(cosô4-6sînô — cosy — çsin^p) ^ sjn*(j)(sin*^ — sin'S)

rfQ = ^Ti pp dQ.

(f -h a^cos*^ — 3sin^ cos(p H ^ sin*(f (<f -H sîny cosy)

L'intégration de cette équation entre fl= ô^ et ô = ô^ s'effectuera au moyen des intégrales que nous connaissons déjà, et de la suivante :

/fl sm9dd = — ô cosô + fcosQdQ = — ôcosfl + sinÔ;