CHAPITRE IV. — POUSSEE DES ARCS CIRCULAIRES, ETC

exercée sur un élément pdQ de la fibre moyenne, sera

8p^(i-+-/i) (m+ I — cos9) IdQ,

et ses composantes suivant la verticale et l'horizontale,

Sp^ ( ï H- w) (m -H I — cos 9) /cosâ rfô, Sp'(i -+- n) {m-hi — cosâ) IsuiQdQ.

La première produira une poussée, qu'on trouvera en substituant son expression à la place de n dans la formule (i3) (n*' 81) ; la seconde étant dirigée vers la verticale du milieu de Tare, on devra la changer de signe et la substituer, à la place de S, dans la formule (i4) (n** 82), qui fera connaître la demi-poussée due à deux composantes horizontales symétriques. Ces substitutions faites, si Ton représente par D la constante 8p^ (i -h n) /, on aura, pour exprimer la poussée élémentaire dfQ, produite par deux pressions élémentaires symétriques,

g (PH- 2(pcos*(p — SsincpcostpH- -Vsin*<p((p+ sin(pcos(p) -^ =

l sin^ç cosô — sin^ô cosfl — 2 cos^<p cosô — s^sincp coscp cosô j

+-I — cosô) ^ ^ G' . .

( — ôsinÔH- âsin'^ôcosÔH- 2cos(p j-sin^(p(sin^<pcosfl + ôsinô) ^

Lorsque l'on veut intégrer le second membre, il se présente quelques intégrales nouvelles. On les détermine au moyen de l'intégration par parties et des transformations ci-après indiquées dans les calculs mêmes :

fHinQcos6ri9==9 CsmQcosQdQ— fdQ fsmGcosQdQ

= -flsin^6— - rsin^erfÔ^^-ôsin^ô — 7 0H-7sinflcosâ,

2 aj 2 4 4

Tôsin^Ôcos^â t/9 = ô Tsin^ôcos^ôrfÔ — fdQ fsm' Q cos' 9 d9

= ^(9—sm9cos9-h2sin'9cos9\ — ^ T^ô — sin9cos0+ 2sm'9cos9\d9

= -L fl« ^ ôsinflcosÔ -f- ^ Ôsin^ôcosfl -+- \ sin^Ô — ^ sin^ô, 16 8 4 10 16 '

rôsin'ôcosôrfô = ^ôsin'9 — ^ fsin'9d9 = ^ôsin'fl H-^cosô — -cos'Ô.

Ces expressions permettront d'intégrer facilement dQ entre les limites o et (p, ce qui donnera, toute réduction faite, pour avoir la valeur de la poussée cherchée, la relation :

(p+ 2(pcos^<p — Ssincpcos^H — 5-sin^(p((p+ sincpcos^p) ^

^(psin'(p+ 2(pcos'<pH-(pcos(p — Ssincp-f- ^sin' (pH- :^cos(p )

^ sin'(p cos'^cp ï sm (p

— - cos'<p — ^sin^(p(sin'^-hsin(p — (pcos(p) 1

!^sin'(p-h3cos(p — 2sin^(pcos(p H-| i > •4.1- 1*9 i

— sin* ^ "•" 8 ^*"^ ^^^^ — Z ^^"^ ^^^ ^ I

7sin'<pcoscp — ^sin<pcosç — asincpcos^cp — sin(p4- ^cos^ — ~cos^^

sin' (p + sin^ : sin^(p coscp

- ^ sin <p cos (p — <p cos (p — (p sin^ (p H- ^ ^

Cette formule est compliquée. On pourrait en rendre les applications plus commodes par le développement en série des fonctions de tp qui s'y trouvent renfermées : néanmoins nous n'exécuterons pas ce calcul parce qu'il s'agit ici d'un cas assez rare dans la pratique. Nous avons surtout voulu montrer quelle est la marche à suivre pour le traiter.

On pouiTait imaginer une infinité d'autres exemples : mais ceux qui précèdent suffiront pour bien faire comprendre T esprit de la méthode.

§ III. — Dévehppement en série de la formule (i3).

90. Préliminaires. — La formule (i3) du n"* 81 a une importance particulière, parce qu'elle donne la poussée horizontale produite par un poids isolé agissant sur un arc circulaire à section constante et dont la flexion est plane : il en résulte, en effet, conmie on l'a vu au n^ 85, qu'elle donne aussi la poussée due à un ensemble de poids distribués d'une manière quelconque, ce qui est incontestablement le cas le plus fréquent dans la pratique.