sin"+'y— sin"+'e
^ 4.6.8... 21 ' (2i-hi)(2i4^'2) sin*9 — sîn*0 -r...
Donc on a aussi, d'après l'expression de x,
j^(sin^(p + sin^9)
= I — cos(p ;
I • 5"^ (sin* <p H- sin* <p sin^ Ô -+- sin ' ô)
Sans pousser plus loin le développement du multiplicateur de costp, on voit évidemment qu'il est croissant avec fl, car il ne contient que des termes positifs ayant pour facteurs une certaine puissance entière de sinfl. Donc, lorsque (p variera entre o et 9, - ira sans cesse en décroissant, depuis 9 = o jusqu'à ô = (p.
Les deux limites de n ont des valeurs at^ et r,, qu'on peut trouver en reprenant l'expression primitive de * et y faisant fl = o, ô = <p- Pour 9 = o, on a
s5n*9 • sin*y + 2cosç — 2cos*(f — 2(psinycosç'
pour ô = (p, on a une fraction de la forme -? mais la vraie valeur s'obtient, comme d'habitude, en prenant les dérivées des deux termes, ce qui donne
-tq I ^sin^(p — -sin^ô j s\n^(p = — sinô cos9 sin"<p,
( -sin^(p — -sin^Ô4-cos(pcosÔ-l-9sinô costp — cos?(p — (psiiKp cos(p ) = — sinfl cosO 4- fl cosfl cos(p ; d'où l'on tire
sin'cp
* SlIKf ÇCOS(f
de
de
l8:i FLEXION ET RésiSTANCE DES PIEGES COURBES.
Ces expressions nous montreront d'abord que x^ ^t *i sont positifs ; car les numérateurs le sont nécessairement, puisque (p est un angle que nous ne supposons pas dépasser l'angle droit, et d'un autre côté les dénominateurs peuvent s'écrire comme il suit :
sin<p H- 2 cos^ — 2 cos^(p — 2(p sincp coscp — sin (p cos(p ( tang(p + 2 ' ~ ^^^^ — o.<p j=sin(pcos(p tang<p — (pH- 2 (tang-<p — ^p] h sin<p — (pcos(p = cos(p (tang(p — (p) ,
formes sous lesquelles on reconnaît qu'ils ont le signe -h, la tangente d'un arc, dans l'étendue d'un quadrant, étant nécessairement supérieure à l'arc lui-même.
Gomme x^ et it^ sont des quantités positives, et que - est constamment
décroissant depuis — jusqu'à — 7 on voit que x a toujours le signe 4- , et
que son maximum, pour une valeur donnée de (p répond à fl = (p, tandis
que le minimum répond à 9 = o. Montrons maintenant que le rapport ~
du maximum au minimum, toujours supérieur, ou au moins égal à l'unité, ne s'en écarte jamais beaucoup.
En effet on a
Xi sin*ç -|- acosy — acos*ç — a^sin^coso? sin'9 — acosy-H acos'y
Xo sin* y — (psin<pcos(p sin*ç — (psin^cos^
On remplacera dans le numérateur de la dernière fraction sin^^ par I — cos^ç, puis divisant les deux termes par sin^<p, on aura
ît, __ / I — cosy y i^
Xo \ sin y /
tangf
Posons tang - (p = w et développons en fonction de cette variable. On peut d'abord écrire
-d<p = d arc tang w = ^v— j = «^ (i — «;* + (v* — fv* -t- . . . ) ;
