CHAPITRE IV. — PaUSS^E DES ARCS CIRCULAIRES, ETC

d'où Ton tire, en intégrant les deux membres,

En outre

— ; ^ = —r-, — ^^-r- = tang - (p = (V,

2tangT9 i'*'

tanff (p =: r--t r- = 5 ;

donc

i^ ~ ^ ~ 1 (i iv') (i iiv*4- T tv*— i^v'H- . . . )

La série qui est au dénominateur est composée de termes alternativement positifs et négatifs, décroissant constamment et sans limite, puisque (p est

un angle compris entre o et - > et que par suite w est compris entre o et 1 . Donc, en vertu de propriétés connues, elle est convergente, et sa valeur est inférieure au premier terme 1 + ^ : par conséquent, la quantité à retrancher de 2 est au moins égale à -4-t> c'est-à-dire à 7- Ou, en d'autres

termes, la valeur maximum du rapport — répond k w =^ o (ce qui suppose

<p également nul), et se trouve égale à 7; donc ~ est toujours compris entre

I et 7> et par conséquent x est peu variable. En effet, lorsque <p a une valeur

donnée, la plus grande et la plus petite valeur de r, dans le cas le plus défavorable, sont entre elles comme 5 est à 4- On voit d'ailleurs aisément, par une substitution directe, que le rapport dont il s'agit est l'unité quand l'angle (p est droit.

Pour compléter cette discussion et en tirer des conséquences utiles, il nous reste à trouver le maximum maximorum de x, c'est-à-dire la plus grande valeur que prend x, en faisant varier (p. A cet effet nous chercherons

l84 FLEXION ET RESISTANCE DES PIECES COURBES.

la dérivée de x, par rapport à (p, et nous aurons

d'jLx (sin^ — -(pcosy) 3sin*y cosy — (psin*(p

d(^ (sinç — ycosç)*

__ — /__ — smj \ /^^2(pcos*(p — 3sin<pcos(p).

Or le premier facteur est essentiellement positif, le second n'est autre chose que la quantité désignée par B au n^ 90, dont le développement est (n*" 92)

i5 ^ oi5 ^ 945 i.a.3.. . (ai-f-i) ^ ^^ '

les termes sont alternativement positifs et négatifs, et de plus décroissants, car le rapport de l'un d'entre eux au précédent est exprimé en général par

1 — 1 (ai — 1) (aiH-i) ^ ' quantité dans laquelle i représente un nombre au moins égal à 3. La plus grande valeur de ce rapport répond à /= 3, qui donne -^? c'est-à-dire moins que i , même pour (p == -• Donc la série est positive , donc aussi ^

est tpu jours négatif. Par suite *^ décroît sans cesse, et sa plus grande valeur s'obtiendra en faisant (p = o. L'expression de k^ se présentant alors sous la

forme - ? on prendra le rapport des dérivées des deux termes, soit

sm'p coscp siny

(psintp

ou 3cos^-

en y faisant (p = o, on voit que la valeur correspondante de x^, maximum niaximorum de x, est égale au nombre 3.

Ainsi donc, si nous résumons la discussion précédente, nous avons prouvé :

Que toutes les valeurs de x sont positives ;

Que la plus grande, pour une valeur donnée de ç, répond à ô = o, et la plus petite à 9 = (p ;

Que le rapport de ces deux limites varie entre i et -> pendant que (p varie

entre - et o;