CHAPITRE V. — RÉSISTANCE DES ARCS CIRCULAIRES, ETC

et ordonnant par rapport à cosa, après avoir mis i — cos^a et i — cos*(p au lieu de sin^a et sin*^, on aura :

( — * + 7 ^) ^os^oc — ( — ^ ■+■ ^ ^ j2nsin(pcosa| I -h 2 G* ^^^^ ^^^ ^^^ — cos(p)

( -h I — 2^ cos(p {^n sin(p — coscp)

Il s'agit d'avoir le maximum maximorum de ces deux expressions, quand oc varie dans les limites entre lesquelles elles s'appliquent, savoir entre o et a^ (n"* lit) pour la première, et entre a^ et ^ pour la seconde.

A cet effet, nous remarquerons d'abord que si Ton représente ( — x) et ( — 0?') par les ordonnées de deux courbes dont les valeurs de cosa seraient les abscisses, x et x' étant essentiellement négatives, dans les limites ci-dessus fixées, toutes les ordonnées seront au contraire positives. En outre, ces courbes seront des paraboles ; celle qui représente ( — x) tournera sa concavité vers le haut, et la seconde la tournera par le bas. On le voit facilement,

en se rappelant que G" est plus petit que -r (n° 90) ; de là résulte l'inégalité 2~\ > T V et comme h ne peut être qu'une assez petite fraction de p, on en

conclut que ^ — i , et à fortiori ^ ^ — i , sont des quantités positives. Donc

le coefficient de cos^a est positif dans la première équation, tandis qu'il est négatif dans la seconde ; donc les deux paraboles ont bien la situation qui vient d'être définie.

De cette situation nous pouvons immédiatement conclure que la plus grande valeur de ( — x) répondra à Tune des limites a = o ou a = — a,. La première donnera le résultat

( — a;)^ = ^E, U/isincp + i ^ sin(p [sinip — ^n{i — cos(p)] U

226 FtE:|^ION BT RESISTANCE UBS PIECES COURBES.

OU bien, à cause de psin^ = a, et de \~^^^ = tang i (p,

Quant à la valeur correspondante à a = a,, ou au point H (fig^ 34), nous pouvons ne pas nous en occuper ici, car nous la retrouverons parmi les valeurs de ( — a;') : le point H appartient aussi bien à la portion BH qu'à la portion CH de la fibre moyenne.

La parabole représentative de ( — a?') tournant sa concavité vers l'axe des X, et ayant ses ordonnées positives, il est clair que la tangente horizontale donnera le maximum, si elle correspond à une valeur de cosa comprise entre les limites cosa^ et cos(p : sinon le maximum devra répondre à Tune de ces limites. Cherchons d'abord la condition pour que la première hypothèse se réalise. Pour cela, soit a^ l'angle a qui répond à la tangente horizontale dont il s'agit : cet angle devra satisfaire à l'équation

cicosa '

ce qui donne, en effectuant la dérivation,

ou ^ bien

I ph

cosaj=:nsin(p

i ûfi

Cette valeur sera admissible quand on aura cosaj<cosa, et cosa, >cos^, c'est-à-dire, en remplaçant cosa, et cosa^ par leurs expressions,

i ph

nsin^ T < ^n sin^ — cos(p,

I ph n siïKp ^—r > COS(p.