CHAPITRE I. — REPARTITION D UNE FORCE, ETC
A' et B' étant déterminés par les relations
A'-i-B'=Ah-B, B'— A' =
cos 2 e
Dans certains cas les axes principaux en un point sont connus à priori et sans aucun calcul. Ainsi Ton démontre que toute ligne de symétrie est un axe principal dans tout son cours, en admettant, bien entendu, que la symétrie existe non-seulement quant à la figure, mais aussi dans la distribution des masses ; toute perpendiculaire à une ligne de symétrie est axe principal en son point de rencontre avec cette ligne; enfin, toute ligne qui est axe principal et qui passe par le centre de gravité, est axe principal dans tous les points de son cours.
Lorsque les axes principaux coïncident avec les axes coordonnés, le double rectangle 2 Goc^ disparaît de l'équation de Tellipse d'inertie, comme nous l'avons déjà remarqué. On doit donc avoir
relation qui peut servir à caractériser les axes principaux; car, si elle est satisfaite, on voit que, réciproquement, le terme en xj manquera dans l'équation de l'ellipse, ce qui ne peut avoir lieu, les axes coordonnés étant rectangulaires, que lorsqu'ils sont en même temps diamètres principaux.
4. Équation de V ellipse d'inertie, ramenée à sa /orme la plus simple. — Les lettres A' et B', définies au n*^ 3, ont pour les nouveaux axes Ox\ Oj' le même sens que A et B pour O^, Oy; elles représentent donc respectivement les moments d'inertie de la surface par rapport aux axes des œ' et des j^ soit lEy^cû et lEx^^co. Appelons a et b les rayons de giration correspondants, lesquels sont déterminés par les relations
a*2E« = 2E/*a. = A', et posons en outre, pour fixer la valeur de la constante D,
alors r équation (a) du n*' 5 se réduit à
Le moment d'inertie m, par rapport à Oz, étant exprimé par =^? puisque
ÔS = -^ (n'' 5), on aura aussi lu = ^=^ sEey, c'est-à-dire que le rayon de
giration correspondant sera =• Ou bien encore, en désignant par/? le
demi-diamètre OS, /?' le demi-diamètre conjugué ()§', 6 l'angle SOS', en vertu de la relation connue ab =pp' sin fl, on aura le rayon de giration
/' ne sera autre chose que la perpendiculaire S'T abaissée du point S' sur OS.
o. Recherche des moments d'inertie par le calcul intégral. — Un axe quelconque étant tracé dans une surface plane, prenons-le pour axe des a, et traçons une perpendiculaire qui sera Taxe des y. Si Ton décompose là surface en portions infiniment petites par des parallèles aux deux axes, et qu'on appelle, comme ci-dessus, E la masse rapportée à l'unité superficielle pour un élément quelconque, le moment d'inertie de la surface relativement à l'axe des x sera exprimé analytiquement par JJ Ey^dxdy^ r intégrale devant être étendue à tous les points de la surface. Le rayon de giration correspondant r sera déduit de la relation
Pour que le problème soit défini, E doit être connu en fonction de x et de j, et l'on doit connaître aussi la forme du périmètre; dès lors la recherche <Jont il s'agit se réduit à une difficulté d'analyse, qui peut toujours être surmontée, au besoin, par les procédés d'approximation connus.
Il serait aisé de poser d'autres formules symboliques en employant les coordonnées obliques ou les coordonnées polaires ; mais nous ne saurions ici nous arrêter à ces détails.
