CHAPITRE I. — REPARTITION d'uNE FORCE, ETC

6. Expressions toutes calculées de moments d'inertie de surfaces homogènes. — Nous allons maintenant donner les valeurs toutes calculées des moments d'inertie et des rayons de giration de quelques surfaces planes par rapport à des axes déterminés. Nous supposerons la densité constante et égale à l'unité, valeur particulière qui, une fois l'homogénéité admise, n'altère pas la position du centre de gravité, ni les rayons de giration, ni l'ellipse d'inertie relative à un point.

i"*. Rectangle plein et homogène. Soient / la largeur AB {Jig. 2), h la hauteur BD, O le centre du rectangle, O^, Oj deux parallèles aux côtés.

Le moment d'inertie, relativement à Ox ou 2ûij*, est égal a — lh\ et

le rayon de giration correspondant a pour carré ^r-? soit —h^.

Le moment d'inertie, par rapport à O^, s'exprime de même par — A/% et le carré du rayon de giration par — /^.

D'après une remarque du n** 3, O^ et Oy sont les axes principaux pour le centre de gravité. En conséquence, l'ellipse centrale d'inertie sera représentée par l'équation (n** 4)

elle sera semblable à l'ellipse inscrite dans le rectangle, et aura pour demiaxes les longueurs -^v/^' "•'^' V/o> soit o,v577 - et 0,677 -•

"1^. Rectangle endé homogène. Nous supposerons d'abord que la surface soit symétrique par rapport à deux axes rectangulaires 0.r, Oj {fig* 3), dont le point de rencontre sera le centre de gravité. Soient ÂB = /, BD = A, ÊF 4- GH = /', m\ = h\ On aura :

Pour le moment d'inertie relativement à Ox. le^y^ = — (///' — l' It^): Pour le moment d'inertie relativement à Oj,

2^x^=L\i^h-h')P^h'{i — iy\,

Pour l'aire de la surface, Ico =^ Ih — /'A'.

On en déduira aisément les rayons de giration autour de O a; et Oj, et l'on pourra construire l'ellipse centrale d'inertie représentée sur la figure.

Dans le cas où la symétrie n'existerait pas, la recherche de l'ellipse centrale d'inertie serait un peu plus complexe, parce que le centre de gravité ne serait pas connu d'avance. Néanmoins les calculs, quoique plus longs, ne présenteront aucune difficulté, et nous ne croyons pas utile d'en donner un exemple. Le problème se résoudra toujours au moyen des indications générales rappelées ci -dessus.

3**. Cercle plein ou couronne circulaire homogène. Le moment d'inertie d'un cercle de rayon R par rapport à un axe quelconque Ox {fig- 4)> passant par son centre, a pour valeur tttR*. Le rayon de giration s'exprime

par l/^-W <^u par - R. L'ellipse centrale d'inertie sera donc un cercle OA ayant un rayon moitié de celui du cercle proposé OB.

S'il s'agit d'une couronne circulaire, en appelant R le rayon OA du cercle extérieur {fig^ 5), r le rayon OB du cercle intérieur, le moment d'inertie relativement à un diamètre Ox s'exprimera par T7r(R^ — r*), le rayon de

giration correspondant par V/ ^"tWE^m ^^ ^ y/R^-H r^. C'est le rayon du cercle OC, qui remplace l'ellipse centrale d'inertie.

4*^. Ellipse pleine ou couronne elliptique homogène. Soit l'ellipse ACBD {fig- 6), dont nous désignerons le grand axe AB par /, et le petit axe CD par h. Les moments d'inertie de la surface, relativement aux lignes AB et CD,

ont respectivement pour valeur ^ tt^' ^^ Wa '^^^^ * L'aire de l'ellipse étant d'ailleurs égale à -liTrlh^ les deux rayons de giration correspondants seront

\/ \ h^ et v -^ '^? c'est-à-dire t ^ et ^ ^ ; d'où il suit que l'ellipse centrale

d'inertie (dont les axes principaux, d'après une remarque du n*" 3, sont dirigés suivant AB et CD) sera l'ellipse donnée dont les dimensions auraient été réduites de moitié.

Lorsque l'ellipse présentera un vide intérieur de forme elliptique, il y aura toujours possibilité de trouver sa surface et son moment d'inertie par