CHAPITRE I. — RÉPARTITION d'uNE FORCE, ETC

rapport à un axe quelconque, en calculant la différence des surfaces et des moments d'inertie de deux ellipses pleines. Dans le cas particulier où le contour du vide serait concentrique et semblable au contour extérieur, et semblablement placé, on reconnaît aisément, au moyen de cette méthode, qu'en appelant m le rapport des dimensions de l'ellipse intérieure avec celles de la grande ellipse, l'ellipse centrale d'inertie est encore semblable aux deux premières, qu'elle est semblablement placée, et qu'elle a pour axes

l\Ji -h m^ et

Ay/i H- m-.

Nous nous bornerons à ces exemples. Le lecteur pourra trouver d'autres expressions toutes calculées de moments d'inertie des surfaces homogènes, dans les ouvrages sur la Résistance des Matériaux et les Aide-mémoire de Mécanique pratique. Quant aux moments d'inertie de surfaces non homogènes, il sera bien rare qu'on puisse en faire usage dans les applications, car les données numériques manqueraient pour cela. Si toutefois le cas. se présentait, on se reporterait aux considérations générales que nous avons placées au commencement du n° 5.

7. Centre de percussion d une surface plane. — Après avoir matérialisé une surface plane, comme nous l'avons fait au n'' I, en attribuant à l'un quelconque de ses éléments où une densité constante ou variable E, on peut assujettir ce corps, en forme de disque extrêmement mince, à tourner autour d'un axe contenu" dans son plan. Il y aura alors à considérer un centre de percussion, c'est-à-dire un point tel, qu'en y appUquant une impulsion perpendiculaire à la surface. Taxe n'éprouverait aucune pression. Telle est la définition mécanique : nous allons voir qu'on peut lui en substituer une qui soit purement géométrique.

Soient, en effet, A la surface donnée {fig. 7), Oa:, Oj deux axes des coordonnées, rectangulaires entre eux, dont l'un, Ox, est celui autour duquel la surface est assujettie à tourner. Appelons x^ et j^ les coordonnées du centre de percussion. On sait d abord que la distance de ce point à l'axe Ox est égale à la longueur du pendule simple équivalent au disque matériel

lO FLEXION ET RESISTANCE DES PIÈCES COURBES.

représente par A, ce qui conduit à la relation

SEj«

En second lieu, Ox doit être axe principal d'inertie au point où il est coupé par un plan qui lui serait perpendiculaire, et qui contiendrait le centre de percussion. Donc, si Ton transportait Taxe des y parallèlement à lui-même en ce point, on aurait IÈx'j'û) = o (n** 5), x^ et j' étant les coordonnées nouvelles ; ou bien, comme on a j' = jy*, x' = x — a;, , on posera

lEf {x — a:,) a> = o,

relation qui donne la valeur de x^ :

^Exytù

On voit, en conséquence, que, d'après la définition ci-dessus donnée, nous avons trouvé les coordonnées x^ , jr^ du centre de percussion. Réciproquement, on pourrait se servir des valeurs x^ et j, pour définir le centre de percussion, et alors la propriété mécanique dont jouit ce point ne serait plus en évidence : on aurait une définition purement géométrique.

8. Le centre de percussion dune surface plane se confond, en projection sur cette surface, a\^c le centre de granité d'un volume. Conséquences. — Le centre de percussion de la surface plane A {fg- 7) peut encore être considéré à un autre point de vue qui sera souvent utile. Supposons un prisme droit qui aurait A pour base, et attribuons à chaque élément de volume de ce prisme la même densité qu'à F élément superficiel a> sur lequel il se projette dans le plan de la base ; admettons enfin que ce prisme soit terminé à un second plan passant par Ox : le centre de gravité du volume hétérogène ainsi formé se projettera sur le plan de A, en un point qui sera précisément le centre de percussion de cette surface.. En effet, soit z la hauteur de l'élément prismatique qui a a> pour base; soient x^j y^ les coordonnées du centre de gravité en projection ; le théorème des moments donne

X^t^zm — 2E:sj6>, x^lEzêù = lExzcù.