CHAPITRE I. — Rl^PARTITION d'uNE FORCE, ETC. I

tion ù en une infinité d'éléments a>^ dont chacun serait la base d^une fibre élémentaire, en appelant t la tension de cette fibre et x son allongement

proportionnel, c'est-à-dire la quantité analogue à y > on pourra toujours,

avec assez de vraisemblance, admettre que ce prisme infiniment petit se comporte comme un prisme homogène, et poser en conséquence

(p) -^^l^ ^" t = Ecox;

égalité dans laquelle E représente un nombre constant pour la fibre élémentaire en question, mais pouvant varier d'un élément de fibre à un autre, soit dans rétendue d'une même section droite, soit d'une section droite à une autre. Ce nombre exprime encore, en un point donné du prisme, le rapport entre la tension par unité de surface de l'une des fibres élémentaires et son allongement proportionnel; nous lui conserverons le nom de coefficient d'élasticité de la fibre élémentaire à laquelle il correspond.

On conçoit que lorsque E varie d'un point à un autre, sa détermination expérimentale présente de grandes difficultés. Nous admettrons néanmoins, dans ce Mémoii^e, la possibilité de cette variation. Les formules à établir n'en seront pas sensiblement modifiées, et elles auront l'avantage d'être mieux en harmonie avec les faits observés. Mais lorsqu'on en viendra aux applications numériques, il y aura nécessité de rentrer dans l'hypothèse de l'élasticité constante, en attendant que les progrès de la Physique fassent connaître les lois suivant lesquelles elle varie.

12. Con\^ention relative à la densité de la section droite d'un prisme, en chaque point. Fibre moyenne. Centre des tensions. — Il sera souvent question, dans le cours de ce Mémoire, du centre de gravité d'une section droite, de son moment d'inertie, de son rayon de giration, de l'ellipse centrale d'inertie, de son centre de percussion. Le lecteur devra toujours entendre que ces quantités ont été déterminées, non pas dans l'hypothèse d'une surface homogène, mais en considérant la densité de cette sur/ace, en chaque point, comme étant égale au coefficient d'élasticité de la fibre élémentaire qui vient y passer .

L'élément de fibre qui contient le centre de gravité d'une section trans-

l8 FLEXION ET RESISTANCE DES PIECES COURBES.

yersale, déterminé comnxe il vient d'être dit, s'appellera élément de fibre moyenne. Quand tous les éléments de fibre moyenne seront sur une ligne sensiblement parallèle aux arêtes, ils constitueront une fibre du prisme qui prendra le nom àefihre moyenne.

Lorsque toutes les actions moléculaires développées dans une section plane d'un corps donneront une résultante, le point où cette résultante coupe le plan de la section sera nommé centre des tensions.

13. Hypothèses fondamentales sur la nature des déformations d'un prisme. — Considérons un corps solide dont une certaine étendue autour d'une section plane AB {fig. 1 1) peut être regardée comme peu différente d'un prisme droit dont les faces latérales seraient perpendiculaires à AB. Supposons qu'une force N, également perpendiculaire à cette section, agisse sur la partie supérieure du corps, et que celle-ci soit maintenue en équilibre par les actions moléculaires qu'elle reçoit de la partie inférieure, et qui s'exercent dans la surface de séparation AB. Il s'agit de connaître la tension ou pression par unité de surface qui s'exerce sur chaque élément de fibre traversant AB.

On voit d'abord que toutes les réactions élémentaires doivent avoir une résultante égale et contraire à N, en sorte que le centre des tensions dans AB se trouve sur la direction de la force N. Cette condition, exprimée au moyen de la statique des systèmes invariables, fournirait six équations où entreraient les tensions demandées. Mais comme il y a dans le problème un nombre infini d'inconnues, il ne saurait être complètement résolu de cette manière. Si l'on admettait l'hypothèse abstraite d'un corps absolument indéformable, on ne concevrait la possibilité de déterminer la tension en chaque point qu'en tenant compte de l'état de mouvement qui aurait dû précéder l'état d'équilibre du corps; au contraire, la simple statique suffira si l'on connaît les lois suivant lesquelles se déforme un corps naturel sous l'action des forces qui le maintiennent en équilibre. Or ces lois ne sont pas complètement connues, et il y a nécessité d'y suppléer par des hypothèses, ou, si l'on veut, par un postulatum dont l'exactitude approximative pourrait être constatée expérimentalement en vérifiant quelques-unes des conséquences que nous en déduirons. L'hypothèse que nous admettrons, conformément à l'exemple donné