CHAPITRE I. — REPARTITION d'uNE FORCE, ETC
En conservant aux autres notations le même sens qu'au n"* 14, on aura les coordonnées du point M,
X = w cos A, j^ = cv sin A ; d'ailleurs
y= w^ sinA, A = «/^ oos A;
donc, pour ce point et tous ceux de la ligne de niveau MM', on a
hx
X *fy /cos"X 8in*X\
Les coordonnées du point P étant p cos A et /7sin A, et devant satisfaire à l'équation de l'ellipse centrale d'inertie, on posera l'équation
Z7* cos* X p! sin* X qui, combinée avec la précédente, donne
La tension par unité de surface aux divers points de la ligne de niveau MM', déterminée par la variable w^, sera donc exprimée par
D'après une propriété connue de l'ellipse, on sait que le parallélogramme de deux diamètres conjugués est égal au rectangle des axes, c'est-à-dire que pp^ sin ô = aè ; donc
1 ;i'*sin*e sin'ô / o £\
Par suite, si l'on substitue cette valeur dans la formule précédente, en ayant égard aux relations w sin fl = <;, «7^ sin Ô = (^, , on trouvera une nouvelle expression de ^, en fonction de la variable if,
On peut enfin remarquer que Ni'^ est le moment M de la force N par
P.f) FLEXION ET RESISTANCE DES PIECES COURBES.
rapport à l'axe OU, parallèle aux lignes de niveau et passant par le centre de gravité; de plus, G^l¥.a> est le moment d'inertie e de la surface relativement à ce même axe. Donc on peut écrire la formule
/a\ NE . ME^/
18. Remarques sur les signes à attribuer aux quantités algébriques qui entrent dans les formuL^s précédentes. — Les six formules qui viennent d'être établies peuvent toutes être employées pour déterminer la tension q par unité de surface, en un point quelconque de la section droite d'un prisme soumis à une traction ou à une compression longitudinale ; le choix à faire dépendra des circonstances particulières du problème qu'on se sera posé. Mais, quelle que soit la formule que l'on adopte, pour qu'elle ait toute la généralité désirable, il faut faire des conventions de signe pour la force N, le moment M, les coordonnées jr, j, et les variables ^, «, p, w qui définissent la position de l'une des lignes de niveau. Nous ne parlons pas de /, k^ ç^ et w^ ; ce sont des valeurs particulières de a;, J, t', w^ : il est clair qu'elles subiront les conséquences des conventions posées pour ces quantités. Déjà les conventions dont il s'agit ont été en partie établies au n** 14; nous allons les compléter ici, et indiquer en même temps l'interprétation que l'on devra donner aux résultats numériques des formules, d'après les signes dont ils se trouveront affectés.
D'abord, les quantités Ë, a», I doivent être regardées, dans tout ce qui précède, comme étant essentiellement positives. Le signe de N a été déterminé au n** 14; les signes de a?, j, ^, w,/*, h suivent naturellement les règles établies dans la Géométrie analytique pour les coordonnées rectilignes. Gela posé, si nous nous rappelons en outre que, dans le n^ 14, nous avons admis que q prendrait le signe H- lorsqu'il s'agirait d'une tension, et le signe — dans le cas contraire, nous conclurons que la formule (i) indiquera une tension ou une pression, suivant que le résultat sera positif ou négatif. Il en sera de même des formules (2) et (3) du n"" 17, dérivées de la première en y mettant, pour x et j, les valeurs particulières d'un certain point choisi sur chaque ligne de niveau.
Passons maintenant aux formules (4) et (5) du n** 17. Elles dérivent égale-
