CHAPITRE 1. — RÉPARTITION d'cNE FORCE, ETC

ment de la formule (i) , en y introduisant les coordonnées du point de chaque ligne de niveau, situé sur le diamètre conjugué à leur direction commune; elles auront donc le même degré de généralité, pourvu que nous nous

• 1 •> X ^^ . /cos*X sin'XN ^ t^j^i

arrangions de manière a ce que les e^Lpressions wi^\ ( — tj — I r* ) ^^ —f^

égales en valeur absolue à l'expression -^ +/^j aient aussi constamment

le même signe. Pour cela, il suffira de remarquer que, d'après les relations X = «^cos A, j = (vsin A, w a nécessairement des signes contraires pour des points situés de part et d'autre du point O, et que, d'après la relation (; = cv sin fl, (/ a le même signe que w. On devra donc compter cv, w^ , p, i^, positivement ou négativement suivant que ces longueurs se rapporteront à des points de la section situés d'un côté ou de l'autre de la ligne de niveau OU passant au centre de gravité. Le côté positif et le côté négatif seront d'ailleurs arbitraires, car, si on les prend l'un pour l'autre, les produits ww^ et w^ ne changeront pas. Moyennant cette convention, les résultats positifs ou négatifs des formules (4) et (5) devront être interprétés comme ceux de la formule (i).

Quant à la formule (6), elle ne diffère en rien de la formule (5), si ce n'est parce que Mp a remplacé Nw^. On devra donc, pour conserver encore la généralité de la formule et l'interprétation des signes des valeurs numériques qu'elle donne, attribuer à Mç le signe qui résulte pour Np^, des conventions précédentes. Or, si l'on suppose N positif, le produit Nw, sera positif quand \^ et v^ seront de même signe, et négatif dans le cas contraire ; donc on atteindra le but, en se conformant à une règle ainsi formulée : Quel que soà le moment M, on le regardera comme dû à l'action d'une force positwe située d'uncôté convenable de Vaxe OU, eu égard au sens de la rotation que M tend a produire : pour tous les points situés , relativement à OU, du même coté que cette force, Mt^ sera positifs pour tous les autres il sera négatif. D'ailleurs il est bien entendu que, si au lieu de M on rétablissait son expression Nt;, , cette convention serait sans objet, puisque nous savons les signes que nous devons donner à N et à t^/, mais elle pourra quelquefois être utile, si M résulte immédiatement des données, tandis que N et v^ seraient des inconnues.

§ III. — Développement de la solution donnée dans le paragraphe précé^ dent; axe neutre; noyau central dans une section; exemples. — Déviaiion de> la section droite.

19. Axe neutre. — La tension positive ou négative par unité de surface, en un point quelconque de la surface ABCD {fig* 1 2), étant représentée par la formule (5) (nM7),

NE / . i^i^,\

déterminons une ligne de niveau TT, dont la distance v^ à Taxe OU (ligne de niveau passant au centre de gravité) satisfasse à la relation

nous obtiendrons une ligne située au delà de OU par rapport au centre des tensions, car v^ et sf^ sont nécessairement de signes contraires. La distance

G* entre le centre de gravité et cette ligne a pour valeur absolue — Si TT traverse la section, toutes les fibres qui seront sur son passage n'éprouveront évidemment ni pression ni tension, puisque Ton aura ^f = o ; pour cette raison, nous appelons TT a^e neutre dans la section ABCD : ce qui précède en détermine complètement la position.

20. L allongement d*unefihre élémentaire est proportionnel à sa distance à l'axe neutre. — Les fibres rencontrées par Taxe neutre ne s'allongent et ne se raccourcissent pas, puisqu'elles éprouvent un effort nul. Donc, si Ton se reporte à la Jig. 1 1 , dans laquelle AB et CD représentent des section^ infiniment voisines, et CD' la position prise par CD relativement à x^B, quand la force N a produit son effet, on voit que l'axe neutre est précisément Kinterse^tion des plans CD, CD'. Donc aussi l'écartement perpendiculaire de ces deux plans en un point quelconque, ou l'allongement de la fibre élémentaire contenant ce point, est proportionnel à sa distance à l'axe neutre. On voit aussi que, par suite des positions relatives du centre de gravité, du centre des tensions et de l'axe neutre, les fibres élémentaires situées du même côté de cet axe que le centre des tensions éprouvent une action de même