CHAPITRE I. -T- REPARTITION p'UNE FORCE, ETC

nature que celle supportée par la fibre élémentaire moyenne, tandis que c'est le contraire qui a lieu pour les fibres élémentaires situées du côté opposé. La nature de Faction exercée sur la fibre moyenne étant connue à priori (n** 15), cette considération pourra souvent être utile pour.savoir s'il y a pression ou tension en un point donné.

Dans le cas où le coefficient d'élasticité E serait le même pour toutes les fibres élémentaires, on pourrait dire que la tension en un point, par unité de surface, serait proportionnelle à sa distance à l'axe neutre. Dans le cas le plus général, cette tension serait proportionnelle au produit de E par sa même distance ; c'est ce qui résulte immédiatement de l'équation (p) posée au n"* H , et de la propriété que nous venons de démontrer ici.

21 . Analogie du centre des tensions avec le centre de percussion, — Nous allons maintenant démontrer que le centre des tensions H {fig. 1 2) est identique avec le centre de percussion de la surface ABGD tournant autour de l'axe neutre TT, pourvu qu'on attribue à chaque élément superficiel une densité égale au coefficient d'élasticité (n*^ 12). En effet, le centre de percussion dont il s'agit n'est autre chose qu'un point par lequel passe la résultante des forces d^inertie tangentielles qui se développeraient dans une rotation de la surface autour de TT, sans vitesse initiale; puisque, d'après le principe de d'Alembert, ces forces d'inertie doivent faire équilibre à une force unique appliquée au centre de percussion. Dans la rotation d'un corps solide, la force d'inertie tangentielle d'une molécule est proportionnelle à sa masse et à sa distance à l'axe : donc à l'élément û> correspondra une force d'inertie perpendiculaire au plan ABGD, et proportionnelle au produit de Eo» par sa distance à TT. Or la tension totale du même élément est proportionnelle au même produit (n** 20) et dirigée suivant la même ligne. On a donc là deux groupes de forces appliquées aux mêmes points, et les forces du premier groupe sont dans un rapport constant avec celles du second : donc les résultantes coïncident en direction, ce qui prouve le théorème énoncé.

L'analogie entre la question que nous traitons et celle du mouvement qu'une impulsion communiquerait à la surface ABGD, matérialisée conformément à la convention du n® 12, n'est pas bornée à la coïncidence qui vient d'être signalée. Imaginons,, en effet, une impulsion agissant suivant la

3o FLEXION ET RESISTANCE DES PIÈGES COURBES.

direction projetée au point H. Puisque Taxe TT rendu fixe n'éprouverait pas de pression, on peut lui restituer sa liberté sans altérer le mouvement produit, qui sera, par conséquent, une rotation instantanée autour de cette ligne. Les vitesses des différents points seront les mêmes sur une parallèle à TT, et proportionnelles à la distance entre cette parallèle et TT. On sait, de plus, que la vitesse du centre de gravité serait la même qu'en y transportant l'impulsion parallèlement à elle-même.

Or ces propriétés sont précisément celles que nous avons reconnues aux allongements des diverses fibres élémentaires traversant la surface ABGD. Il y a nullité des vitesses et des allongements sur la même ligne TT, égalité sur les parallèles à TT dans chacun des deux groupes ; enfin nous avons déjà fait remarquer, au n^ 15, une circonstance qui ressemble tout à fait à celle que nous venons de rappeler, concernant le mouvement du centre de gravité.

Cette analogie remarquable pourrait servir de base à l'établissement de l'une des formules qui donnent la valeur de la tension par unité de surface en chaque point; mais cette marche semble trop indirecte et trop peu naturelle pour être préférée à la méthode, tt^ès-simple d'ailleurs, dont nous avons fait usage.

SÎ2. Réciter che générale du centre de pression d'une surface plane, plongée dans un liquide pesant et homogène. — En supposant que le coefficient d'élasticité soit constant dans toute l'étendue de la surface ABCD [fig- i:i), il y aura en chaque point une tension par unité de surface proportionnelle à l'ordonnée de ce point mesurée jusqu'à un certain plan, comme on l'a vu aux n°* 15 et 14. Ce plan contient l'axe neutre TT (n"* 20). Maintenant imaginons que la même surface ABCD soit plongée dans un liquide pesant et homogène, et que la ligne TT se trouve dans le plan horizontal de niveau où la pression du liquide serait nulle; ce plan, dans le cas d'une masse d'eau soumise à l'action de l'atmosphère par exemple, serait à io"',33 au-dessus de la surface libre. Les choses étant ainsi disposées, il est visible que la tension par unité de surface en un point est proportionnelle à la pression qui serait produite par l'immersion dans l'eau (pourvu cependant que la sur&ce fut entièrement plongée), car, à cause de la con-