CHAPITRE I. RÉPARTITION d'uNE FORCE, ETC
est nulle en C, nous trouverons
(y) » + -ïi- + -i- = 0'
Cette équation étant du premier degré en X et Y, et devant s'appliquer, entre les positions OQ et OR du rayon vecteur, à tous les centres des tensions situés sur le contour du noyau central, on voit que dans l'angle QOR ce noyau central sera terminé par une droite, que représente Téquation (7). A chaque sommet A, B, D, etc., répondra de même une autre droite dans le contour du noyau central, et l'ensemble de ces droites constituera un polygone.
Voici maintenant divers exemples de la détermination du noyau central de quelques surfaces homogènes.
I**. Rectangle homogène. Soit donné le rectangle ABGD {Jig. i3) dont les dimensions sont AB = / et AG = h. Les axes principaux d'inertie au centre de gravité sont les lignes Oj, O^, menées parallèlement aux côtés du rectangle (n"* 5). Si l'on applique les considérations générales que nous venons de développer, pour le cas où la surface est polygonale, on trouvera que dans l'angle fOx le noyau central est limité par une droite, dont on aura l'équation en substituant dans l'équation {y) des valeurs
ce qui donnera
Cette équation est celle de la droite qui joint les points E et F, pris de telle manière que OE = g AC et OF = g AB. Dans chacun des trois autres angles
formés par les axes Oa?, Oj, on trouvera une droite située dans une position semblable; en sorte que le noyau central a pour périmètre un losange, dont les sommets divisent les médianes LN, PM en trois parties égales.
2®. Couronne circulaire ou cerqle plein homogène. Soient R le rayon extérieur, r le rayon intérieur. On sait (n** 6) que l'ellipse centrale pst un
cercle de rayon - y/R^H- r^; par conséquent, tous les demi-diamètres de
cette ellipse ont pour carre j(R*H-r*). D'ailleurs, la quantité désignée par OL au commencement du n** 25 est ici le rayon R du cercle extérieur ; donc ^ — ^-^ représente la distance constante du centre de gravité au périmètre du noyau central. Ce périmètre est donc un cercle concentrique à ceux qui limitent la section donnée ; son rayon est sensiblement - R si la cou-
ronne est mince; il est 7 R si le cercle est plein.
3**. Couronne elliptique comprise entre deux ellipses semblables ou ellipse pleine homogène. Appelons, comme au n"^ 6, / le grand axe et h le petit axe de l'ellipse extérieure, ml et m/i les dimensions homologues de l'ellipse intérieure : les dimensions de l'ellipse centrale d'inertie seront
l\/i 4- m' et h\pr+^në (n^6).
Ainsi donc, si l'on désigne par P un demi-diamètre quelconque de la première ellipse, - P y/i -h m^ sera le demi-diamètre homologue dans l'ellipse
centrale d'inertie, lequel est désigné par/? au commencement du n"* 25. Ce diamètre coupera le contour de la partie centrale à une distance du centre de
gravité égale à ^ — ' ^ > c'est-à-dire à ^ P ( 1 -h m^) . Donc enfin le noyau
central aura pour périmètre une ellipse semblable à celles qui terminent la
section; le rapport de similitude avec la plus grande sera j (i H- m^), soit
environ - ou bien 7 > suivant qu'il s'agit d'une couronne très-mince ou
d'une section pleine.
24. Désolations des sections normales du prisme. — Le prisme dont deux sections très-voisines sont AB et CD [fig. 1 1) étant soumis à une traction totale N, et la section AB étant censée invariable de position, après la déformation le plan CD vient en C'D\ Il s'agit d'avoir l'expression analytique de l'angle y de ces deux plans, expression dont nous aurons besoin par la suite.
