CHAPITRE I. — RÉPARTITION d'uNE FORCE, ETC

Pour y parvenir, appelons toujours :

G le rayon de giration de la section CD (ou AB) autour d'un axe OU parallèle aux lignes de niveau et passant au centre de gravité O (n** 12) ; i^t la distance du centre des tensions H à ce même axe ; ù> l'aire d'un élément de la section considérée ;

E le coefficient d'élasticité d'une fibre élémentaire ayant co pour base ; a- la distance des plans AB et CD.

On sait que l'axe neutre, c'est-à-dire l'arête de l'angle dièdre qu'il s'agit d'évaluer, est parallèle à OU et éloigné de cette droite d'une quantité G'

«'a = — (n** 19); on sait, de plus, que le déplacement 00' du centre de gravité a pour valeur (n*" 14)

2Ew On en conclut aisément

Ni^, n'est autre chose que le moment de la force N par rapport à OU, moment que nous avons déjà désigné par M (n** 17); G^SEo) est le moment d'inertie de la surface relativement au même axe, que nous avons aussi employé précédemment et désigné par g. On pourra donc écrire la formule

(7) tang7 = -^-

En prenant <r infiniment petit, l'angle 7, qui est du même ordre, pourra être confondu avec sa tangente.

§ IV. — Exemples numériques de l' application des théories précédentes.

25. Problème relatif à une colonne creuse. — Supposons d'abord un cas très-simple. Un tuyau circulaire de 0,02 d'épaisseur et de 0,20 dé diamètre extérieur est formé d'une matière homogène dont le coefficient d'élasticité est partout le même. Une force de 5oooo kilogrammes, qui tend à produire une compression de la pièce, s'exerce parallèlement aux arêtes, à

une distance variable du centre, désignée par d. On demande, i"" entre quelles limites doit être comprise la distance d^ pour que les fibres élémentaires, traversant une même section droite (*), soient toutes pressées; 2^ comment varieront la plus grande pression et la plus grande tension par unité de surface, quand d changera ; 3*" quelle valeur devra prendre rf, pour que la pression, maximum par millimètre carré atteigne 1 1 kilogrammes.

La réponse à la première question se trouve au n** 25, deuxième exemple. En faisant R = o, lo et r = o,o8, on a

I R»-hr* I o,oi64 ra ^/,

La force doit donc agir à Tintérieur d'im cylindre de 0,082 de diamètre, concentrique au tuyau donné, pour que l'axe neutre ne traverse pas la seC' tion, et que toutes les fibres supportent, en conséquence, des efforts de même nature.

Pour répondre à la seconde question, on remarquera d'abord que l'ellipse centrale d'inertie étant un cercle dans le cas actuel (n** 6), les lignes de niveau (lesquelles sont aussi des lignes d'égale pression par suite de la constance du coefficient E) sont les perpendiculaires au diamètre passant par le point d'application de la force (n"" 16). Le rayon du cercle central d'inertie a pour

valeur - ^/(o, 10)* 4- (0,08)* : soit o,o64 environ. Il suffira donc de mettre

dans la formule (5) (n° 17), les valeurs suivantes :

Pour la force N — 5oooo ;

(Nous donnons le signe — , d'après la convention du n° 14. ) Pour 2Eû; E.i7r[(o,2o)* — (0,16)^];

Pour w^ , la valeur de rf;

Pour Wy la distance de l'une des lignes de

niveau au centre du cercle, soit w\

Voxxv p^^ (o,o64)^, ou plus exactement. . o,oo4i.

{^) Il s'agit ici d'une section intermédiaire prise dans l'étendue de la pièce. Nous nous occuperons ultérieurement de ce qui se passe dans la surface par laquelle elle s*appuie.