CHAPITRE I. — RÉPARTITION d'uNE FORCE, ETC

nulle. Les points qui ne sont pas pressés n'ont pas de tension à supporter. La base AB doit donc alors se diviser en deux parties, Tune résistant à des pressions, l'autre ne résistant à aucun effort.

28. Solution générale du deuxième cas. — On voit, par les considérations précédentes, qu'une nouvelle théorie est nécessaire pour résoudre le problème posé au n** 27 dans le second cas, celui où la résultante des charges agit en dehors du noyau central. Nous aurons recours à une hypothèse qui est une simple extension de celle que nous avons énoncée au n? 15 : nous supposerons que, après la déformation produite par les forces, les points d'une section normale CD, très-rapprochée de AB, sont encore dans une même section CD' du prisme primitif, cette hypothèse ne devant s'appliquer qu'à celle des deux parties de la section où il existe des pressions, puisque dans l'autre les (îbres ne varient pas de longueur.

Il résulte immédiatement de cette hypothèse que, dans la partie pressée, la pression par unité de surface suivra les mêmes lois que celles auxquelles est soumise la pression ou la tension en un point quelconque de la section transversale d'un prisme droit. La seule difficulté consiste a trouver la ligne de séparation des deux parties : une fois cette ligne connue, on peut faire abstraction de la partie non pressée, et déterminer, dans l'autre, la pression en chaque point, comme nous l'avons fait, au n** 27, pour le premier cas.

Nous voyons d'abord que la ligne de séparation dont il s'agit est une ligne droite. En effet, c'est le lieu des points pris dans la partie résistante de la base, pour lesquels il n'y a ni pression ni tension; or dans cette partie la théorie des §§ Il et III est applicable, ainsi que nous venons de le voir : la ligne des points où là pression s'annule est donc une ligne droite (n** 20), et cette ligne n'est autre chose que l'axe neutre de la partie résistante. Nous savons, de plus, que le centre des tensions, c'est-à-dire le point d'application de la force N, doit être le centre de percussion de la partie résistante de la base (n^ 21)-

En conséquence, la détermination de la ligne séparative des deux parties, lorsque le point d'application de N est donné, peut être posée en ces termes :

Étant donnés une surface plane {la base du prisme) et un point de cette surface {celui où agit N), tracer une ligne droite qui coupe cette surface

en deux portions telles , que celle des deux qui contient le point donné ait ce point pour centre de percussion relatif à la ligne demandée,

La solution générale de ce problème sera obtenue par des tâtonnements. Voici ridée de la manière dont on pourrait les diriger : soient ATBT'(^g^. 1 7) la surface donnée, H le point d'application de la force N, TT' la ligne inconnue. Prenant une direction arbitraire SS\ on tracera une série de lignes parallèles entre les positions extrêmes SS', S'^S''' tangentes au périmètre de Taire donnée, ou n ayant qu'un point commun avec lui, s'il est polygonal. On cherchera, pour chacune de ces lignes, PQ par exemple, le centre de percussion de la surface PBQ située au-dessus ^ en ayant égard à sa densité variable (n''12). Le lieu des centres ainsi obtenus formera une courbe BC paitant du noyau central pour aller au périmètre extérieur. En faisant varier la direction des lignes SS', on aura d'autres courbes analogues, qui rayonneront dans toutes les directions autour du noyau central; on arrivera donc, par tâtonnement, à faire passer l'une de ces courbes par le point donné H, et alors il est visible que le problème sera résolu.

29. Tracé de la tangente a la courbe des centres de percussion relatifs à une série d'axes parallèles. — Proposons-nous de mener une tangente à la courbe BG, dont nous venons de parler; courbe qui est le lieu des centres de percussion d'une série de segments interceptés dans la surface APBQ par des lignes parallèles, ces centres étant relatifs à une rotation autour de la ligne droite qui est pour ainsi dire la corde du segment. Nous pouvons résoudre cette question fort simplement dans l'hypothèse d'un surface homogène.

Soient PQ l'un de ces axes parallèles ; M le point correspondant de la courbe BC, c'est-à-dire le centre de percussion du segment PBQ; Do: et Dj les axes coordonnés, dont l'un. Do?, est une des deux positions limites de PQ. Appelons :

f\ la distance DG de PQ à l'axe des x;

h la distance des deux positions limites de PQ, ou la longueur DS''; x*', x'^ les abscisses des deux points où une ligne P'Q' parallèle aux x, menée entre PQ et S'' S''', coupe le périmètre de la surface; x^ , f^ les coordonnées du centre de percussion du segment ; ^a ) X2 ^^^ coordonnées de son centre de gravité ;