AVANT-PROPOS. V

outre, on reconnaît sans peine que la tension en un point quelconque est proportionnelle au produit de son coefficient d'élasticité par sa distance à Taxe neutre.

Quand l'axe neutre est en dehors de la section, toutes les fibres subissent un effort de même nature, pression ou tension, suivant la direction de la force totale : nous avons cherché à quelle condition ce fait se produirait. 11 faut que la force totale agisse à Tintérieur d'une courbe fermée, tracée autour du centre de gravité, et que nous avons appelée noyau central de la section. Par exemple, pour un cercle homogène plein, on trouve que ce noyau central est un autre cercle de rayon quatre fois plus petit ; pour une couronne circulaire mince , c'est un cercle de rayon égal à la moitié de celui de la couronne; pour un rectangle, c'est un losange dont les sommets sont situés sur les axes de symétrie, qu'ils partagent respectivement en trois parties égales.

Nous ne dirons rien ici du second cas, dans lequel il s'agit d'un prisme posé sur une base, sans adhérence : il est plus compliqué et donne lieu à des résultats moins élégants.

Après avoir considéré exclusi-vement jusqu'à présent les efforts longitudinaux qui peuvent se produire dans les fibres d'un prisme, il eût été bon de nous occuper aussi des forces qui tendent à produire soit un glissement transversal d'une portion du prisme sur l'autre, soit une rotation relative entre ces deux portions. Mais ces forces, qui mettent en jeu ce que l'on appelle résistance trans verse et résistance à la torsion, ne jouent assez généralement dans les constructions qu'un rôle très-secondaire, et nous avons cru pouvoir les laisser de côté, pour éviter de tomber dans une trop grande complication. Dès lors, en prenant une portion de prisme terminée à une section normale, et soumise à des forces quelconques, nous avons cherché la ftrce ou le couple résultant qui mettrait en jeu l'élasticité longitudinale, et nous avons admis que les autres actions seraient négligeables. Moyennant cette restriction, nous sommes rentré complètement dans l'étude que nous venions de faire : seulement, on ne devra pas oublier en pratique les raisons qui obligent de regarder certains cas. comme exceptionnels et empêchent de leur appliquer les formules générales. Cette considération est développée à la fin du chapitre premier.

RECHERCHES ANALYTIQIES

SUR

vin AVAWT-PROPOS.

certains cas elle donnerait Heu à des erreurs considérables, non- seulement dans l'évaluation des déplacements (ce qui n'aurait pas d'inconvénients bien graves en pratique), mais aussi dans la détermination des forces inconnues, qui en est une conséquence : c'est ce qui arrive notamment, quand on cherche la poussée d'arcs très-surbaissés, à section constante, et chargés de poids; on pourrait alors se tromper de i5 ou 20 pour 100 et même plus, suivant la forme de la section transversale- Ces chiffres augmentent dans une énorme proportion, lorsqu'il s'agit du tassement d'un arc surbaissé, supportant un poids uniformément réparti suivant la corde; la méthode de Navier indiquerait un résultat très-petit par rapport au résultat véritable, et on ne devrait pas l'employer, même pour

avoir une approximation grossière, à ^ ou 7 près. Gela se comprend à priori :

en effet, un arc circulaire à petite flèche diffère peu d'un arc parabolique, forme naturelle d'équilibre d'un système articulé uniformément chargé de poids suivant l'horizontale ; si l'arc de cercle pouvait être absolument confondu avec la parabole, les déplacements des points seraient uniquement produits par la compressibilité ou la dilatabilité de la fibre moyenne, et la variation des angles de contingence n'y entrerait pour rien, comme l'a bien vu Navier, qui dans ce cas trouve les déplacements nuls (*)•

Une modification, qui ne concerne que la forme, a été introduite dans les intégrales par lesquelles Navier exprimait les variations des coordonnées d'un point. Dans les formules données par ce savant ingénieur, il y avait sous le signe / une fonction qui était elle-même connue par une première intégration. Un artifice de calcul bien simple permet de fiaire disparate cette intégrale double et de la remplacer par des intégrales simples : changement

(*) Le premier travail dans lequel on ait, à notre connaissance, tenu compte des variations de longueur de la fibre moyenne, est un Mémoire inédit de M. Darcel, ingénieur des Ponts et Chaussées , sur un projet particulier de pont. La détermination de la poussée d*un arc y était faite en introduisant dans le calcul la circonstance dont nous parlons, ainsi que celle dont Navier s*est seulement occupé. Dans leur Mémoire, déjà cité, MM. Desplaces et Collet-Meygret ont montré par un exemple la nécessité d'en tenir compte pour calculer le tassement d*un grand arc surbaissé, chargé uniformément. Mais à répoque où notre travail a été fait , nous n'avions encore connaissance que de celui de M. Darcel , auquel nous restituons Fidée que nous lui avons empruntée. Dans le détail , nous nous sommes d'ailleurs écarté de sa manière de procéder.